好玩的“硬币悖论”

1982年的美国高考有一道正确率达到十万分之一的数字题，三十万高考生包括岀题老师全算错答案，一共只有三个人答对，拿下这一题的分数。

从这道题开始，就产生了一个问题：“硬币悖论”！

那道题是这样的：有两个圆一大一小，小圆半径为a，大圆半径为3a，小圆画朝上大圆画朝下，象葫芦形的“8”字，相互有一个接触点，问题就是小圆在大圆上滚动，但大圆不动，小圆把大圆滚完回到原来的点，小圆旋转了几圈？

一一这仿佛是我们考小孩的题目，因为对大人没难度，大人身上的经验能令我们轻易给出答案：3圈，谁能想到竟是错的！

正确的、应该是的和实际上的，都是4圈。

因为岀题老师自己便认为是了3圈，好巧不巧的岀成一道选择题，好巧不巧的供选择的答案里有3圈没4圈，好巧不巧的几乎是全部考生都选择了3圈；只有3个人不随大流没有勾选ABCDE，而是写岀一个：“4”，结果成了大神的传说。

不难发现，令高考生们哀嚎遍野的核心原因在于“人祸”，都可以把失败原因归究在岀题老师的一个不小心上，很深刻地抱怨，探问自己被扣分的公正问题，不过这个问题我没有兴趣来讨论。

我在想出题老师的一个不小心到底是咋闹成的，偶尔意外还是一贯的，老师太知道怎么挖坑了，他不容易掉啊！！一一我们再把这道题简化，上下两个圆完全一样大，一个围着另一个转回去，它会转几圈？！到现在我们的第一印象仍然是：1圈；但实际却是：2圏。一一我们判断的错觉到底从何而来？?包括现在我看到的一些科普解释，我可以明确的说它的解释本身就是错误的，这放到后面解释，现在我先喝一口水，哈哈。。

网上许多解释我看了也蒙，这问题我知道一年多，开始和大家一样，然后久病成医，讲讲“治疗过程”，愿大家一次见效。

我简要一句话：这是一个“天灾”，当初看电影，电影里下雨观众就会举伞；小时候刚有立体电影的时候，我也会伸手抓眼前游动的小鱼。就是它其实是一个能触碰到人们认知边界的问题；你以为你懂，而更实际是你没有真正发现，什么是你认为懂的其实没有懂。

我选择用物理方式讲这道数学题，目的是用直观方式解除直观错觉，数学象DOS物理象Windows，有一个个字母敲对了与点点点的区别，但有一点是一样的：认真，省得掉麻烦可省不掉认真，它要求认真去想像！

现在开始：在球场平地上有两只一模一样的篮球，它们挨在一起，一只手按住一个球让安不动，另一只手拨着另一个球令它挨着旁边的球转动，它们之间的相互运动实际上是什么情况？

我们把按着的球简称：不动球，把手拨的球简称：手动球。

大概可以有三种认识：

一、最常的认识是：不动球不动，手动球环绕不动球转动。

二、手动球不动，不动球环绕手动球作反方向转动。

三、不动球与手动球相互没有环绕运动，只有方向相反的自转运动。

加深这点可以推测下面这问题：

“地球围着太阳转”这句话，大家都能理解！

如果说“太阳围着地球转”呢，您可能觉得不对，或者要想一想了。

如果说“太阳和地球之间没有相互环绕，它们只是在各自自转”，大多数人恐怕会认为说这话的人疯了！

一一其实，这三种观点都是对太阳与地球之间相互运动关系的正确同一表达。。

硬币悖论的产生，难在人们对这种运动关系的真实认识，它确实不是一个人们常会考虑的事情！

篮球场平地上的那两只篮球之间，其实也是没有相互环绕，而是朝相反方向各自自转的运动；如果用两个篮球上的气眼对气眼为标记，让它们各自自转一周再回到气眼对气眼的位置，会看到各自转动了转向相反的1圏，在相对运动上，就是设其中一方为静止状态的两圏。一一所以，现在可以明白两个同样大的圆为什么会转两周了，确实不是常以为的一周。

最难理解的部分，就是绕转与自转它们之间的真实关系，不同比例大小的圆只是对这个层面的问题添一点可多可少的麻烦，大体没有难点。

这里换一个例子：想像有左右两个同样的齿轮扣着转，再把齿轮想成圆形，每个圆有一个圆心。它们刚好有一个接触点，一个在自转时会带动另一个反转，就好象你站在镜子前审美时的样子，只不过另一边确实有个相反的真实自己。一一硬币悖论的原题象“8”字，现在换到象“∞”符号的角度，并且都看成圆心被固定的自转。我们知道两个圆的半径比=直径比=周长比，这里使用周长描绘更清楚一点。

我们设左边的圆的周长为：1分米，右边的圆的周长是1分米的整数倍n，并且把上述关系简述为：左1右n，分别取n=2,3,4,9,10时，两个圆重回开始接触点的情况，真实情况到底是什么情况，简称：归原。

一、左1右2：左转2周，右反转1周，归原。

二、左1右3：左转3周，右反转1周，归原。

三、左1右4：左转4周，右反转1周，归原。

四、左1右9：左转9周，右反转1周，归原。

五、左1右10：左转10周，右反转1周，归原。

∞、左1右n：左转n周，右反转1周，归原。

硬币悖论的唯一难点就是：它为什么总会多转1周？可现在你还会问这个同样的问题吗？

问了，我也不告诉你，太笨了，我再喝一口水，哈哈。。

其实，上面说的全都只是一个例子，想引证什么呢？一一清楚不懂的，和学习到更多的，是等效重要。。

看了我上面说的，似乎已经解决了这道题的问题，但其实我认为并没有，我也知道并没有，我也知道，如果我问左边的圆周长1分米，1.1分米>右边的圆周长>1分米，那么右边的周长等于多少时，一旦转动起来无论多少圈也再无归原之初？或许，硬币悖论仍能不断探寻下去，而我也只有“大了无限小”这一点点自我怀疑靠不靠谱的胡猜瞎想了。

其实，我连一个圆转动时它的圆心是动还是静也不知道，也怀疑运动与静止在这一情况下是否有真实意义。。

但另一方面，我却可以推翻一些东西，硬币悖论有一种常见解释，它以正多边形可以无尽接近于圆来解释，而且事实上圆周率的计算方式正是这一过程，我也可以认同；但拿它解释硬币悖论，我就不认同，我认为那就是错误解释，推演有明显错误。

下面一起思考一下正多边形的推演观点，这个思路是这样的：

一、有一个圆A；有一个正多边形B，它可以是正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正886边形，直至5201314边形，比手机上的圆还圆。。

二、且无论这个A的大小，只要沿着B的边长转回到起点，A必定多转360度即1圈。

三、又因为B可以无限接近于圆，所以A在B外面会多转1圈，则无限接近于A在另一个圆外面会多转1圈。

一一我觉得它对于圆在多边形上的证明过程都是对的，更明确的说是它教会我这部分知识，但是它的推演错了，这点后面说，先说它的求证过程。

简约直观我依然采用数字说话，它的证明如下：

设一个圆A的周长为1分米，一个正多边形B的边长也为1分米，边数为n。当n=3,4,360时，问：A沿着B转回到起始位置时转几圈？

一、n=3：B为正三角，在三个角尖处，AB之间每个角尖会多出一个接触点不变的120转角，三个转角的共计度数为：120度×3=360度，也就是1圈；A在B每条边上转1圈，全部边上共计3圈；全部边的圈数 全部转角度数=3 1=4，所以A沿着B转回去是4圈，所以比3圏会多1圈。

二、n=4：B为正方形，在四个角尖处，AB之间每个角尖会多出一个接触点不变的90转角，四个转角的共计度数为：90度×4=360度，也就是1圈；A在B每条边上转1圈，全部边上共计4圈；全部边的圈数 全部转角度数=4 1=5，所以A沿着B转回去是5圈，所以比4圏会多1圈。

三、n=360：B为正360边形，在360个角尖处，AB之间每个角尖会多出一个接触点不变的1转角，360个转角的共计度数为：1度×360=360度，也就是1圈；A在B每条边上转1圈，全部边上共计360圈；全部边的圈数 全部转角度数=360 1=361，所以A沿着B转回去是361圈，所以比360圏会多1圈。

一一所以推论：在无限正多边形上，圆也会多转1圈；又因为无限正多边形近似于圆，所以近似推断如果在一个圆上转差不离也应多一圈。。

大家发现没有，这一论断的核心在于角尖的接触点不动的转角度数，和全部转角度数的累加！一一可是，非常遗憾的是：在互为外切圆关系的两个圆之间，是完全没有接触点不变的转角度数的，它全部是0度，也正因如此，这一转角度数的累加也全部是0！但是，证出过任一正多边形却正好360度，答案就应该是：过任一正多边形都应该比圆要多1圈，说明圆应该比过任一正多边形少1圈，明明是不一样，可它怎么就说一样呢？

我不明白这原因，但我知道这朋友的推导是错的。。

但，我深知我不是真知道，因为如果他的求证真的正确，（关键是我也觉得正确！），那围着圆转就不该多1圈，可事实它偏偏多了呢？

我也把自己转走了，我也迷糊了。。

知识没有灵丹解药。。

尊重知识！

原创：罚站还笑