数独，一门学问
即使是天使也会为数学问题而苦思冥想，五百年前，德国名画家丢勒的木刻画《忧郁症》中，一位天使因为牵挂画中的数字题患上忧郁症。两百多年前，瑞士数学家欧拉发明了数独雏形。1984年，日本益智游戏出版社Nikoli重新挖掘出这个游戏，改良并正式命名为“数独”（Sudoku）。
今天，这些数个小九宫格组成的大九宫格在成为欧美国家白领工作之余的休息时间以及乘车上下班途中最佳良伴后，也被本城写字楼里的男男女女视作娱乐新宠，一伙人时常因为做题速度每每提高几分钟而欣喜若狂。
让画中天使牵挂的就是墙上挂着的数字迷宫，横向、纵向、对角线数字和都是34，最下面一行中间两格，画家自娱地留下了创作年代1514
欧拉与拉丁方
作为数学史上最传奇、最多产的大师之一，瑞士数学家欧拉在18世纪研究了一种有趣的数字方阵：考虑一个阶数（亦即行数和列数）为n的方阵，在小格里填入n种符号或数字，在每一行/列中，每一个符号出现且仅出现一次。这种方阵源自中世纪的格盘游戏，其求解过程可归结为“染色问题”———一个数学中最古老的问题之一。因为最初随手填入方阵内的是一个个拉丁字母，欧拉将这样的方阵命名为拉丁方。拉丁方在实验设计、数据检验和幻方构造等领域应用极广。
很容易发现，数独其实正是一种特殊的拉丁方。惟一不同的是，数独加上了两个额外的条件：一、在每个小九宫格的区域内，每个数字同样出现且只出现一次；二、给出的初始数字必须对称。
数独机取题不尽，办公无纸化，咱也要“无纸化数独”
终盘的可能性
通常将一个完成了的数独题目称为终盘。在数独游戏风行后，人们很快便希望知道这个游戏究竟存在多少个终盘形式。对此，德国数学家Felgenhauer在2005年给出了答案：数独的最大可能终盘数为6，670，903，752，021，072，936，960种。
Felgenhauer的算式为9！×722×27×27，704，267，971，最后的数字是一个大质数。虽然这个天文数字已经足够惊人，但考虑到作为一种特殊限制的拉丁方，数独终盘的可能性只是可能存在的九阶拉丁方数目的0.00012%！
另一个方面，考虑到数独游戏的初始数字对称要求，以上结果可能有相当程度的重复，亦即其终盘结果会出现大量的雷同。据此，英国数学家FrazerJarvis和EdRussell给出了更准确的不同终盘数：5，472，730，538.这样一来，有志于破解所有数独题目的玩家又看到了希望的曙光，担心游戏被穷尽而没有游戏可玩的爱好者也不必焦虑：毕竟这个数目和地球人口一样多。
17个起始数的数独
最小初盘问题
与终盘相对应，一个数独游戏给出的初始条件称为初盘。由于规则所限，给出的初盘数字个数必须在32以下。
一般常见的初盘数字个数在22—28之间，而数独爱好者们常问的一个问题是：最少给出多少个数字，数独游戏才确保有惟一解？具体地说：最少需要在初盘中给出多少个数字，使得移除其中任何一个数字该数独游戏便没有惟一解。
事实上，这个问题是数独中最有数学趣味的问题之一，并且至今仍未得到解决。但数学家们估计，这个数字很可能是17.17个数字的最小惟一解初盘是由一名日本数独爱好者发现的。澳大利亚数学家GordonRoyle已经收集了36628个17个数字的惟一解初盘，而爱尔兰数学家Gary McGuire则致力于寻找16个数字的惟一解初盘，但至今仍无发现。部分数学家开始退而求其次，转而寻找只有两个解的16个数字初盘。
统计学家根据一个统计学原理曾随机地构造了大量17个数字的初盘，发现其中有惟一解的初盘只有数个未被GordonRoyle教授发现，这意味着，最小惟一解初盘问题的最终答案可能正是17：因为从理论上说，如果16个数字的惟一解终盘存在，那么每一个必将引起65个17个数字惟一解终盘的增加，而在研究中至今没有观察到这一效应。
数独卷筒纸，每张纸上都印有数独题，让你一边方便一边解谜
最大初盘问题
与最小初盘问题相反，人们还可以提出最大初盘问题。
也就是说：在一个数独初盘中，最多能给出多少个数字，使得再增加一个数字该问题便只有惟一解。
相对于最小初盘问题，最大初盘问题容易解决得多。采用倒推法，在初始数字为80的情况下无需说明，缺啥补啥即可；在初始数字为79的初盘中也大约如此，因为考虑到必须满足每一个小九宫格内每个数字出现且仅出现一次，这意味着所缺少的数字都必须出现在同一个九宫格内，考虑到这个情况，还可以依次推出78的初盘也有惟一解。但当初盘中给定数字变为77的时候，该数独游戏便会出现至少两解。
充满未来感的液晶数独，要求补充完整液晶显示数，这个噱头既是给玩家的提示，也是限制。
数字游戏
“数独”可以被定义为一种逻辑智力拼图游戏，也可以被称为“数字游戏”。顾名思义，“数独”可以理解为一组独立的数字，将这组数字以一定的规则组合在一定区域内，便是数独游戏的主要内容。
具体地说，拼图是大九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，由9个小九宫格组成。游戏的目标是在每一个小九宫格中，不重复地填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。一般而言，一条数独题会给出1/3左右的数字作为初始条件，剩下的2/3空白处由读者完成。
也许正是因为规则简单，所以数独才能迅速风靡世界。既然玩数独游戏无需数学运算或证明，似乎完全可以将其称为“数字游戏”。
传播史
Nikoli是所有数独爱好者需要感谢的第一个名字。
数独游戏在1979年前后已经在美国Dell杂志上刊登，但在众多填字游戏中并未引起特别注意。直到1984年，日本的填字游戏出版商Nikoli公司的煅治真起从美国发现了这个游戏，决定引入日本并将其命名为Sudoku，意思是“每个数字只能出现一次”。
随着Sudoku游戏在日本国内大受欢迎，Nikoli公司在1986年对其进行了两项改良：其一是题目中给出的初始数字限定在32个以内，其二是给出数字的分布采用对称形式。这就是今天我们看到的数独游戏的面貌。
很难解释为何在此后的十多年里，数独游戏一直只在日本国内流行。但可以肯定的是，将数独游戏重新发现并推广到国际市场的，是一名香港高等法院退休法官、新西兰人高乐德。他在1997年一次日本旅行中，在书店内发现数独游戏，立刻被其吸引住。此后高乐德花了六年时间开发数独出题程序，并向英国《泰晤士报》等报社出售其编写的数独题目。英国市场反应极佳，数独开始风行全球，而高乐德本人也因此获得巨额收入。
经过两年的迅速发展，数独游戏已经“侵入”了几乎一切公共传播领域：数以千计的报纸提供数独游戏，数十种数独刊物，全球各地分别成立了数独爱好者团体，电视上已经出现了数独节目，2006年3月举行了第一届数独世界锦标赛，捷克一名女会计师夺冠。
买印上数独题的水杯随时动脑，但做不出来别摔杯子出气
怎样出一道数独题
骨灰级数独玩家对用计算机程序编写的数独题目始终抱有成见，认为其偏离了数独的初衷，日本Nikoli公司多年来就一直坚持其出版的所有数独题目皆由人工算出。对于那些既不擅长编程序，又不愿意费时耗力慢慢推算的数独爱好者而言，吴硕辛先生介绍的一种出题方法可谓简单易行。
吴硕辛先生多年来一直从事高阶幻方研究，其发表的mi（q）理论被誉为是幻方研究的最前沿成果之一。
年届七旬的吴先生最初被数独游戏吸引，也正是因为在其中看到了拉丁方的影子：“对我们搞幻方的人来说，构造对角拉丁方是最常用的手段之一。”吴先生在研究中发现，如果将九阶拉丁方（当然空格里填的必须是1-9的数字）与已有的一道数独题相结合，可以很方便地得出一道新的数独题。
具体做法是：准备任意一个完整的九阶拉丁方（81格都填满，后文以A代表）和任意一道现有的数独题（后文以B代表）。将B中所出的数字的位置分别标为b1，b2，b3……bn，然后在A中找到相对应的位置a1，a2，a3……an，再将B中b1至bn的数值分别替换为a1至an的数值，空白的格子仍旧留为空白，这样就能得到一个新的数独题，并且保证有解。
古埃及石墙上的数字方阵也许是最古老的数独游戏
数独与魔方
稍加观察即可发现，“数独”中的数字1－9可以被替换为任意不重复的数组，也可以换为a、b、c、d等非数字序列，甚至可以替换为9种不同的颜色，只要这些颜色之间有明显区别。这让人们想起了80年代风靡全球的魔方游戏，事实上，数独的游戏规则看起来正像是一个平面化了的魔方的逆过程。
芬兰一名数学家因卡拉号称设计出全球最难的数独游戏
九宫阵
九宫阵
游戏规则
“九宫阵”也称为“独数”。这是一个9×9的方阵，由9个3×3方阵组成(黑色实线包围)。玩家在每个小格子里面填上数字1至9，使得结果满足下面的条件。
1：使每个横行和每个竖列中的9个格子都包含数字1至9，数字不能重复；
2：使每个黑色实线围住的3×3“九宫格”中的9个格子都包含数字1至9，数字不能重复。
九宫阵现在在国外非常流行，很多人玩起来废寝忘食。游戏入门简单，从小学生到博士都可以玩，而且可以提供多变的逻辑判断，让你欲罢不能，甚至有人认为长期玩九宫阵有提高小朋友的智力，减少老年痴呆症之功效。
附：九宫阵答案
全球最难数独游戏数学天才挑战你
原文地址：
http://www.zuiboke.cn/archives/1328.html芬兰科学家因卡拉花了3个月设计出最难数独。
信息时报综合报道 据英国媒体19日报道，芬兰数学天才艾托·因卡拉花费3个月为智力游戏爱好者设计了一个号称“全球最难”的数独游戏，即使你是数独高手，也可能花上几个月的下午茶时间破解这个谜题。
因卡拉是一名环境科学家，拥有应用数学博士学位，平时酷爱玩数独游戏。他说“如果玩家能猜中3~4个数字，他就能在15分钟至半个小时内解开谜题，对于这种幸运儿来说，这根本不是什么'全球最难的数独游戏’。但从理论上来说，人们必须花好几天时间才能摸出头绪。”
在这个九宫格中，81个格子中已给出23个数字，玩家必须在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复。就像下棋那样，这个游戏需要玩家具备预先设想好几步棋子下法的能力。因卡拉教授表示，逻辑思考、耐心和谨慎是解开这个数独之谜的关键。真水1分2分3分4分5分
五子棋八卦阵破解全教程
这里白的棋型构成的是九宫阵,在民间俗称八卦,是最强的防守棋型,主要特点是九宫阵中子力分布构成规则的挂马打分布,下图中可看到,白任意两点之间最大距离(A-白6)永远只有4没有5.所以通常黑如果走不出这个阵,则必输无疑.而且走的越多,输的机率就越大.(图1)
但白如果不变,也永远无胜可言.
在通常情况下九宫阵的变招是采用间的形式,一但黑气尽,白变招后,全盘皆可做杀.
但我们应该明白五子棋中黑永远是占有先手优势的,先手的优势之大,能叫白的任何防守都失去效率,就连这个九宫阵也不例外.(图2)
黑9方向正确,白10依然卦点,必输.黑11跳后白依然存留卦点位置A,B.这里需要特别说明的是,很多朋友认为八卦很好破解,破解方法为只要走在对方的卦点上就破了,其实这是一个错误的思路,有时候不仅仅根本破不了,而且还有可能会输掉全盘.如上图,如果黑11手走在A.B两点,大家可以尝试看看,就知道踩卦点到底能不能破了.
黑11正着,黑11并不直接走在白的卦点上,给故意把卦点位置让出来叫白走,于是这里就给白设置了一个障碍,那就是白一下子从被应该只有一个选择卦点,变成了3个卦点(A.B.D11)而没有办法进行选择.
白应D11点,因为太远,孤子一个,而对黑的子力并没有多少影响,所以属于废着,不再这里讨论.白应A点最强,如果应B点,则黑有以下简单胜.在G6.F9两点同时形成43杀,胜定.(图3)
http://hi.baidu.com/liuliangyuan/blog/item/835d850a2aaaf71a94ca6b37.html十二生肖趣味数学问题
我国古代人民用干支纪年，其中十二地支对应十二种动物，称为十二生肖。十二生肖涉及到人民生活的方方面面，形成了源远流长的生肖文化。在许多趣味数学问题中，也有不少是与十二生肖相联系的，辑录起来，也是一件趣事。
一、老鼠穿墙问题
我国古代最重要的数学著作《九章算术》中有一个有趣的老鼠穿墙问题。大意如下：
现有墙厚5尺，两只老鼠分别在墙两边正对着打洞，第一天大小老鼠各打洞1尺，以后大鼠每天的进度比前一天增加一倍，小鼠每天的进度只有前一天的一半。问几天两鼠相遇？
这是《九章算术》第七章中的第12题。该章专门讨论“盈不足“问题，盈不足术是我国古代一种独特的算法，在数学的发展史上占有重要的地位，对后世数学的发展也产生过重要影响。从方法论的角度看，盈不足方法蕴含着模型化方法、化归方法、以及近似、逼近等方法。本题就是通过盈不足术给出模型，再用逼近的方法求得解答的近似值的。如果要用现代数学的方法，可以利用等比级数列列出方程，再求根的近似值。
二、牛吃草问题
例如著名数学家阿基米德和牛顿都编制过与牛有关的趣味数学问题，牛顿提出了一个“牛吃草”的问题：
有三个牧场，场里的草长的一样密，也长的一样快。它们的面积分别是10/3英亩，10英亩和24英亩。第一个牧场饲养12头牛可以维持4个星期，第二个牧场饲养21头牛可以维持9个星期，如果第三个牧场要为持18个星期，这个牧场应该饲养多少头牛？
这个问题有多种解法，可是牛顿却特别喜欢他的算术解法。
至于阿基米德的牛群问题，是由22组对偶句组成的长诗，它于1773年在一本希腊手抄本中发现。
三、老虎与狐狸
人们都很熟悉狐假虎威的寓言，但是老虎毕竟不是吃素的，一旦识破狐狸的诡计，必将毫不容情地捕杀狐狸。于是，便有了下面这道数学趣题：
一只老虎发现离它10米远的地方有一只狐狸，马上扑了过去。老虎跑7步的距离，狐狸要跑11步，但狐狸的频率快，老虎跑3步的时间，狐狸能跑4步。问老虎能不能追上狐狸？如果能追上，老虎要跑多少米？
老虎跑66米就能追上狐狸。有趣之处在于：我们不知道老虎和狐狸的速度，却能得到问题的答案。
四、饿狼扑兔
斐波那契数列最初就是用兔子的繁殖问题为背景编成的趣味数学问题，后来发展成了重要的数学分支。
欧洲文艺复兴时期，著名的艺术大师达芬奇提出了一个有趣的“饿狼扑兔”问题：
如图2，C点是一个兔子洞，一只兔子正在洞口南面60米的地方O点处觅食。一只饿狼正在兔子正东方向100米处的A点游荡。兔子猛然回首，碰见了饿狼那贪婪而凶残的目光，预感大祸临头，于是急忙掉头向自己的洞穴逃去。说时迟，那时快，饿狼眼看即将到口的美食将要逃掉，岂肯罢休。马上以两倍于兔子的速度紧盯着兔子追去。请问这只饿狼能逮住兔子吗？
这是一个很有趣的问题。因为狼是始终紧盯着兔子追去的，因此它会不断地改变运动的方向，它跑的路线不是一条直线，而是一条曲线。当兔子安全进洞的时候，狼离洞口还有差不多两米的距离，眼睁睁看着兔子逃进洞里去了。如果饿狼不是“死死盯住兔子”，而是把眼光放远一点，直奔洞口，然后在洞口“守株待兔”，兔子就难逃恶运。
五、分形与龙
在自然界中，有许多物体的形状和现象十分复杂，崎岖的山岳走势，纵横交错的江河流向，蜿蜒曲折的海岸线，奇形怪状的云层等等，都是一种混沌现象，这些事物的形状称为分形，分形是前沿科学混沌科学的重要分支。分形有两种类型，一是几何分形，二是随机分形。我们知道，直线是一维的，正方形是二维的，圆柱体是三维的，而分形的维数却是一个分数。下面这个称为“龙”的图形就是一个分形，它是一位名叫J·E·亥威的物理学家首先发现的。
这条曲线的作法是：如图所示，从一个等腰直角三角形开始，以该等腰直角三角形的直角边为斜边作另外的等腰直角三角形，并把原来直角三角形的斜边去掉。再以新的等腰直角三角形的直角边为斜边，作另一些等腰直角三角形，并把原来的斜边去掉。如此继续，便会得到一条龙。
六、黑蛇进洞
在任何一本趣味数学读物中都不难找到印度古代（公元9世纪）数学家摩诃毗罗的“黑蛇进洞”问题：
一条长80安古拉（古印度长度单位）的大黑蛇，以十四分之五天爬七又二分之一安古拉的速度爬进一个洞，而蛇尾每四分之一天却要长四分之十一安古拉。请问黑蛇需要几天才能完全爬进洞？
列出一元一次方程不难算出，大黑蛇需要8天才能完全进洞。
《美国游戏数学杂志》曾经提出过一个有趣的“两头蛇数”问题：
有一个正整数N的首尾分别加上一个1，得到一个新数，如果新数是原数的99倍，则称N为“两头蛇数”，试求出N.
你能找到这种数吗？N=112 359 550 561 797 752 809就是一个“两头蛇数”。
七、千里马
韩愈说：“世有伯乐，而后有千里马；千里马常有，而伯乐不常有。”在《九章算术》的盈不足章的第19题中，我们就可以发现一匹“千里马”：
今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里。良马处日行一百九十里，日增十三里。驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问几何日相逢及各行几何？
《九章算术》用盈不足术来解此题，得到的是近似值。如果用方程解，要列一元二次方程取正根式解。
如图所示，一个马从P点出发，能否跳13步到达对方九宫中的Q点？
在棋盘上建立直角坐标系，,设马的位置在点P(x0，y0)处，因为马走“日”字，如图3所示，马从O（0,0）出发，每跳一步之后，只能到达A、B、C、D、E、F、G、H这8个点，在每一个点两个坐标的和要么增加了+3或－3，例如A(+3)、E(－3)，要么增加了＋1或－1，如C（+1）、G（－1），总之是增加或减少了一个奇数。连跳13步，仍然是增加或减少了一个奇数。P点两个坐标之和为2+1=3，Q点两个坐标之和是4+8=12，两个坐标之和增加了9，9是奇数，只要能想办法把它分成13个绝对值小于等于3的奇数之和，就找到了一种跳法。例如9=3－3+3－3+3－3+3－3+3+3+3－3，就对应一种跳法。请你试一试，一共能找到几种跳法。
至如连跳14步，两坐标之和将增加一个偶数，是无法从P跳到Q的。
八、百羊问题
明代数学家程大位（1533-1606）的《算法统宗》第十二卷载有“百羊问题”，在国际上流传颇广，这道题是用诗歌的形式写成的：
甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后。戏问甲及一百否？甲云所说无差谬。
若得这般一群羊，再添半群小半群，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？
大意是：甲全部的羊，加上一半（半群），再加上四分之一（小半群），再加上乙的一只羊，恰好凑成一百只羊。你知道甲有多少只羊吗？
九、五猴分桃
用猴子为对象的趣味数学问题很多，特别有名的是下面的“五猴分桃”问题：
有5只猴子在一个小岛上发现了一堆桃子，它们想平均分配，但无论如何也分不开。天色已晚，于是大家相约去睡觉，明天再分。夜里，第一只猴子趁大家熟睡之际，偷偷爬到桃子边，先取一个吃了，剩下的恰好可以平均分作5份，这个猴子将其中一份蒇了起来，然后重新去睡觉。过了一会，第二只猴子又爬起来，在剩下的桃子中取一个吃了，剩下的也恰好可以平均分成5份，它也将其中的一份蒇起来然后去睡觉。接着第三只、第四只猴子都先后偷偷起来，照此办理：先吃掉一个，然后把剩下的五份中的一份蒇起来。最后第五个猴子起来，拿一个桃子吃了，剩下的桃子仍然可以平均分成5份。请问这堆桃子最少有多少只？
这真可算得上一道名题。美国作家本·艾姆斯·威廉曽经把它写成一篇小说，发表在1926年的《周末晚报》上。美国著名数学科普作家马丁·伽德纳不仅把它写进自己的著作里，并称它“不是一个简单的题目”。英国数理逻辑学家怀德海精心研究了这个问题，并且提出了一种很简单的解法。1979年春，李政道博士访问中国科大，又把这道题给少年班的大学生们做，并鼓励大家寻求最简便的解法。当年《中国青年报》详细地报道了这次访问，并刊登了这道题目。散见于书刊杂志的各种不同解法至少有十余种之多。
与猴子有关的还有另一个“猴子分花生”问题：
将1600颗花生分给100个猴子，证明：不管怎样分，至少有4只猴子分得的花生一样多（有的猴子分不到花生也算是一种分法）。并设计一种分法，使得没有5只猴子分得的花生颗数一样多。
这是五十年代北京市的一道数学竞赛试题，以后流传很广。
十、百钱买百鸡
对于鸡，有一个几乎是一个家喻户晓的趣味数学问题。我国古代数学著作《张邱建算经》中有一道著名的“百鸡问题”：
今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
这是一道关于不定方程的问题，在国内外流传极广。例如德国人约翰涅斯·列曼写的一本《趣味数学》书中，就有一个古代越南的数学问题：
用100捆草喂100头牛。站着的壮牛吃5捆，躺着的牛吃3捆，老牛三条合吃一捆。问站着几条壮牛，躺着几条牛，几条老牛？
这个问题显然是将“百鸡问题”移植过来的。
十一、来回奔跑的狗
甲、乙两人从相距100公里的两地相对而行。甲、乙的速度分别为6公里和4公里。甲带了一条狗，与甲同时出发，碰到乙时即回头向甲这边跑；碰到甲时又回头往乙这边跑。这样不停地往返，直到甲、乙二人相遇为止。狗的速度为每小时10公里，问狗一共跑了多少公里？
这是在数学界广泛流传的一段数学家的趣闻逸事。据说我国著名数学家苏步青有一次在德国的电车上碰到德国一位有名的数学家，那位数学家请苏步青做这道题。由于苏步青教授的名气，题以人传，这道题便广泛流传开了。这道题其实并不难。因为“路程=速度×时间”，狗的速度每小时10公里是已知的，狗奔跑的时间就是甲、乙两人相遇的时间，很容易算出来（两人相对而行的行程问题），速度和时间知道了，路程也就知道了。
十二、买猪问题
《九章算术》中有一个“买猪问题”：
今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何。
这个问题太简单，我想把它改造一下：
某人去买猪，若买一批每头价450元的小猪，还剩100元；若买一批每头价530元的小猪，还差110元。问此人最少带了多少钱去买猪？
数学之美
领略数学之美，从事设计、绘画、艺术的人必看。生活中的美原来是算出来的！
一、美的量化等式
我们生活的各方面似乎都可以被量化：人的膳食结构（包含热量，蛋白质，脂肪，碳水化合物，各种维生素，矿物质等等）；体型（什么身高对应什么区间的体重）；运动（建立有效的锻炼计划，实现相应指标）等等。如今，有些可穿戴设备也可以将我们的睡眠量化了，它可以计算出你的深浅度睡眠时间和呼吸频率。
这让人想到依靠大数据做出的电视剧《纸牌屋》，从角色安排到剧情发展，迎合观众的喜好制作，但是通过计算量化后的作品具有多大魅力？如果美也能被量化，必然就有这个等式：
Beauty=b/a=(a+b)/b=1.618......
相信大家在初中数学课上就学过这个公式了。简单来讲就是把一条线段一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值约为1∶0.618，即长段为全段的0.618。这个点就是黄金分割点，而0.618也被公认为最具有审美意义的比例数字，1∶0.618是最能引起人的美感的比例。黄金分割数也可以用希腊字母φ表示。
关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来，被应用在很多领域。后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”，也有人称其为“金法”。
二、φ的应用
大自然中，树叶的叶脉，鹦鹉螺纹都具有黄金分割，这些是大自然作为造物主的杰作。而埃及人建造金字塔也应用了黄金分割，不过这早了毕达哥拉斯1000多年，可见那时候人们已从生活中发现这个奥秘也在应用，只是不明确这个规律。
由于金字塔经历了常年的侵蚀，所以以下是理想化模型：
侧面倾斜角α，α＝51.85°；正方形底面的底边为2个单位，这样，正四角锥体的高h，h＝1.273；侧面的高H，H＝1.6188，h≈√H
H＝1.6188≈Φ(1.618)
侧面的高（H）÷底边的1/2＝1.6188÷[2x1/2]＝1.6188≈Φ(1.618)
侧面的面积＝1/2x2xH＝1.6188
以正四角锥体的高h为边长的正四方形面积S，S＝h2＝1.620
即 1^2＋h^2≈Φ^2
既然是美的等式，当然要用艺术品说话。
断臂的维纳斯的肚脐就是黄金分割点，大家不妨琢磨一下你的肚脐。
泰姬陵的正面，可以说把黄金分割用到了极致。
帕特农神庙，也是建筑中运用黄金分割的典例。
名画《最后的晚餐》中后墙和窗户，还有前景的桌子和弟子的脚都存在着黄金分割。
名画《蒙娜丽莎的微笑》这样分析也是绝了。
名画《维特鲁斯人》是根据古罗马杰出的建筑家维特鲁威（Vitruvii）的名字取的，该建筑家在他的著作《建筑十书》中曾盛赞人体比例和黄金分割。
而“维特鲁威人”是达芬奇以比例最精准的男性为蓝本，这种“完美比例”也即是数学上所谓的“黄金分割”。
对于这幅画，达芬奇自己阐述：建筑师维特鲁威斯在他的建筑论文中声言，他测量人体的方法如下：4指为一掌，4掌为一脚，6掌为一腕尺，4腕尺为一人的身高。4腕尺又为一跨步，24掌为人体总长。两臂侧伸的长度，与身高等同。从发际到下巴的距离，为身高的十分之一。自下巴至脑顶，为身高的八分之一。胸上到发际，为身高的七分之一。乳头到脑顶，为身高的四分之一。肩宽的最大跨度，是身高的四分之一。臂肘到指根是身高的五分之一，到腋窝夹角是身高的八分之一。手的全长为身高的十分之一。下巴到鼻尖、发际到眉线的距离均与耳长相同，都是脸长的三分之一。
人体中自然的中心点是肚脐。因为如果人把手脚张开，作仰卧姿势，然后以他的肚脐为中心用圆规画出一个圆，那么他的手指和脚趾就会与圆周接触。不仅可以在人体中这样地画出圆形，而且可以在人体中画出方形。即如果由脚底量到头顶，并把这一量度移到张开的两手，那么就会发现高和宽相等，恰似平面上用直尺确定方形一样。
此外，“维特鲁斯人”还有这些小秘密，只能说列昂纳多·达芬奇堪称艺术与科学巨匠。这里，还要提一个列昂纳多·斐波那契。因为以他名字命名的斐波那契数列又称黄金分割数列，数列如下：
0, 1, 1, 2,3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181......特别指出：第0项是0，第1项是第一个1。这个数列从第二项开始，每一项都等于前两项之和。
这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618，或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618。
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度之比是0.6，而缺口的位置也和黄金分割有着千丝万缕的关系。还有以iphone4为例的主界面图标，拨号盘，甚至是色彩对比......
黄金分割的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。甚至在股市研究，武器设计都有它的身影。当然把比例之美全归结它是不合理的，尽管物理学家霍金一直在寻找万物理论：一个统一的，简单的，优美的公式，但我相信美是绝不应该被量化的。
不过，用理性科学的角度去分析艺术品倒也是蛮有趣的，得出的一些结论还是符合大众思维和审美习惯的。一个等式可以简单粗浅地解释为什么美（符合认知习惯），却永远解释不了什么是美。
以下更多黄金分割经典案例，来源于ArtTact。
黄金分割其实是一组数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34……
相邻的两个数相加得出后一个，无限分裂延伸，没完没了~~~
基于这组数，我们发现，不仅是艺术，在大自然、宇宙、甚至人体构造中，艺术中也存着的黄金比例。例如：在生命密码DNA的两个扭曲螺旋结构组成中我们发现，螺旋之间的宽度和周长比例是0.618，也就是黄金定律，造就了人类潜意识中根深蒂固的审美模式，因此基于这组数的都被称为“完美”~~
请留意大卫像、帕特农神庙、蒙娜丽莎、埃及金字塔（内外高&其他各种参数）、墨西哥玛雅金字塔、DNA、各大星系、各种生物（螺类最明显），昆虫的复眼、……
以下请看图，不解释。
丢勒是文艺复习时期最著名的德国画家和艺术理论家之一，他的最高成就在铜版画和木刻画。
他写过几何学著作《度量四书》和《人体比例四书》，研究的几何结构包括螺旋线、蚌线、圆外旋轮线以及三维结构、多面体结构和倍立方，“偏爱托勒密的方法超过了欧几里德的方法”，非常有前瞻性地把几何学原理应用到建筑学、工程学和版式编排设计之中。
他曾经说过：
没有什么东西比一张毫无技巧笨拙的图片更让健全的判断力所讨厌了，尽管花费了许多心思和努力。现在这类画家没有意识到它们自身错误的唯一原因就是，他们没有学过几何学。没有几何学知识，任何人都不可能是成为一名纯粹的艺术家，但是应该谴责他们的老师，他们自己对这种艺术是无知的。——丢勒《Of the Just Shaping of letters》 1953
丢勒在死前的一篇附于他的几何艺术学著作的最后一卷书后的美学短文中，他写到：
一位艺术家应该凭借丰富的视觉经验去想象一个美的事物。一个人随手在半张纸上花一天的时间用铅笔画出的东西，或在一块小木头上刻出的东西，可能比另一个人花了一年的辛勤劳动炮制出来的大作品更有艺术魅力。
下面，我们用黄金比例来分析《神探夏洛克》画面构图：
三、五百年前的数学之谜
公元1514年，一位青年把一个正方形分成16个相等的小正方形，然后将1、2、3……14、15、16等十六个数字，分别写在每一个小方格里。他写了又擦、擦了再写，最后写成了这个样子。一个神奇的数学魔板。
每一个横排的数字相加起来，每一排的结果都是34。
每一个竖排的数字相加起来，每一列的结果也都是34。
大方块两个对角线方向的四个数相加，结果也是34。
你把这四个带颜色的数字相加一下，结果也是34。
转一个方向把四个带颜色的数字相加一下，结果还是34。
改变一下，这四个带颜色的数字相加一下，结果是34。
再转一个方向把四个带颜色的数字相加一下，结果还是34。
再试试这几个？为什么四个数相加的和都是34？他是怎么想到的？
原来1+2+3+……+14+15+16=136；把136平均分成四份，每份就是34。
