莫比乌斯环研究

莫比乌斯环是一个扭曲的环，只有一个面，这样的面叫做单侧曲面。正常的圆环有两个面，这样的面叫做双侧曲面。从中间刨开以后,不是像正常圆环一样变成两个环，而是会成另一个大环。

　图一　莫比乌斯环

我原本以为这个大环是更大的莫比乌斯环，从中间刨开永远也剪不成两个环。但我在《图形和逻辑的故事》上看到那个更大的环不是莫比乌斯环，而是一个扭曲两次的环。这个扭曲两次的环和正常的环一样，是个双侧曲面。再把形成的新环从中间刨开剪会变成两个套在一起的环。为了验证我的想法和书上的结论，我就做了实验，果然，莫比乌斯环剪一次变成了一个更长的扭曲两次的环，再剪变成两个窄的环套在一起。

 

图二　剪开它

 

图三　扭曲两次的大环

 

图四　套在一起的两个环

 

看来人的思想是有误区的。

基于这个实验，我有了新的猜想。

１．               如果一个环扭曲的次数是奇数，那么这个环的面是单侧曲面；如果一个环扭曲的次数是偶数，那么这个环的面是双侧曲面。

２．               单侧曲面环从中间刨开形成一个更长的扭曲倍数翻倍的双侧曲面环。

３．               双侧曲面环从中间刨开形成两个双侧曲面环。除了普通的圆环刨开形成的是分离的两个环，其他的双侧曲面环从中间刨开，形成的两个环是套在一起的。

为了验证这个猜想，我继续做实验。先做一个扭曲3次的单侧曲面环。把它从中间刨开，得到一个带有一个结的6次双侧曲面环。再把这个6次双侧曲面环剪开，得到交织在一起的两个环。

 

图五 扭曲3次的单侧曲面环

 

图六 有一个结的6次扭曲双侧曲面环

 

图七 交织在一起的两个6次扭曲双侧曲面环

现在我又有了新的猜想，单侧曲面环扭曲次数越多，刨开后形成的结也越多。但是由于实验太难做，就无法验证了。