最大子串和问题（Maximum Subarray）

又一个经典问题，对于一个包含负值的数字串array[1...n]，要找到他的一个子串array[i...j]（0<=i<=j<=n），使得在array的所有子串中，array[i...j]的和最大。

这里我们需要注意子串和子序列之间的区别。子串是指数组中连续的若干个元素，而子序列只要求各元素的顺序与其在数组中一致，而没有连续的要求。对于一个元素数为n的数组，其含有2^n个子序列和n(n+1)/2个子串。如果使用穷举法，则至少需要O(n^2)的时间才能得到答案。卡耐基梅隆大学的Jay Kadane的给出了一个线性时间算法，我们就来看看，如何在线性时间内解决最大子串和问题。

要说明Kadane算法的正确性，需要两个结论。首先，对于array[1...n]，如果array[i...j]就是满足和最大的子串，那么对于任何k(i<=k<=j)，我们有array[i...k]的和大于0。因为如果存在k使得array[i...k]的和小于0，那么我们就有array[k+1...j]的和大于array[i...j]，这与我们假设的array[i...j]就是array中和最大子串矛盾。

其次，我们可以将数组从左到右分割为若干子串，使得除了最后一个子串之外，其余子串的各元素之和小于0，且对于所有子串array[i...j]和任意k（i<=k<j），有array[i...k]的和大于0。此时我们要说明的是，满足条件的和最大子串，只能是上述某个子串的前缀，而不可能跨越多个子串。我们假设array[p...q]，是array的和最大子串，且array[p...q]，跨越了array[i...j]，array[j+1...k]。根据我们的分组方式，存在i<=m<j使得array[i...m]的和是array[i...j]中的最大值，存在j+1<=n<k使得array[j+1...n]的和是array[j+1...k]的最大值。由于array[m+1...j]使得array[i...j]的和小于0。此时我们可以比较array[i...m]和array[j+1...n]，如果array[i...m]的和大于array[j+1...n]则array[i...m]>array[p...q]，否array[j+1...n]>array[p...q]，无论谁大，我们都可以找到比array[p...q]和更大的子串，这与我们的假设矛盾，所以满足条件的array[p...q]不可能跨越两个子串。对于跨越更多子串的情况，由于各子串的和均为负值，所以同样可以证明存在和更大的非跨越子串的存在。对于单元素和最大的特例，该结论也适用。

根据上述结论，我们就得到了Kadane算法的执行流程，从头到尾遍历目标数组，将数组分割为满足上述条件的子串，同时得到各子串的最大前缀和，然后比较各子串的最大前缀和，得到最终答案。我们以array={?2, 1, ?3, 4, ?1, 2, 1, ?5, 4}为例，来简单说明一下算法步骤。通过遍历，可以将数组分割为如下3个子串（-2），（1，-3），（4，-1，2，1，-5，4），这里对于（-2）这样的情况，单独分为一组。各子串的最大前缀和为-2，1，6，所以目标串的最大子串和为6。

下面是实现代码：

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int Kadane(const int array[], size_t length, unsigned int& left, unsigned int& right)
{
unsigned int i, cur_left, cur_right;
int cur_max, max;
cur_max = max = left = right = cur_left = cur_right = 0;
for(i = 0; i < length; ++i)
{
cur_max += array[i];
if(cur_max > 0)
{
cur_right = i;
if(max < cur_max)
{
max = cur_max;
left = cur_left;
right = cur_right;
}
}
else
{
cur_max = 0;
cur_left = cur_right = i + 1;
}
}
return max;
}

int Kadane(const int array[], size_t length, unsigned int& left, unsigned int& right){ unsigned int i, cur_left, cur_right; int cur_max, max; cur_max = max = left = right = cur_left = cur_right = 0; for(i = 0; i < length; ++i) { cur_max += array[i]; if(cur_max > 0) { cur_right = i; if(max < cur_max) { max = cur_max; left = cur_left; right = cur_right; } } else { cur_max = 0; cur_left = cur_right = i + 1; } } return max;}
这里我们需要注意，对于数组元素全为负的情况，由于不满足上述的两条结论，所以Kadane算法无法给出正确答案。（可略作修改）

该问题是1977年Ulf Grenander提出的一个数字图像方面的问题，1984年Jay Kadane才给出了这个优美的解决方案。有些问题，看似解法简单，但是实际上其原理，要比代码复杂得多。

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