图像中的2D点
单应变换矩阵是一个3*3的矩阵H。这个变换可以被任意乘上一个非零常数,而不改变变换本身。所以它虽然具有9个元素,但是具有8个自由度。这意味这它里面有8个未知参数待求。
典型地,可以通过图像之间的特征匹配来估计单应矩阵。
更好地理解单应变换,可将它与其它几何变换做比较。单应变换具有8个自由度,其它一些更简单的变换也是3*3矩阵,只不过它们包含一些特定的约束来降低自由度的数量。
从紧约束至松约束,逐步接近单应变换,下面展示了这些变换的层级,以及展示把单应变换分解成简单变换的集合。
它是保持欧式距离的变换,这意味着图像之间只有2D旋转和2D平移运动。它只有3个自由度。刚体变换表示如下:
其中
相比刚体变换增加了均匀的缩放。均匀的意思是各个方向的缩放比例相同。尺度变换增加了一个自由度,所以自由度为4。和刚体一样,具有保角性。点之间的距离不再保持不变,但距离比保持不变。相似变换表示如下:
其中
仿射变换和相似变换近似,不同之处在于:相似变换具有单一旋转因子和单一的缩放因子,而仿射变换是两个旋转因子和两个缩放因子的组合。所以它又多了两个自由度,共6个自由度。和相似变换不同,它不具有保角性和保持距离比的性质。尽管如此,它仍具有“保持平行”的特性,即原图的平行线,变换后仍是平行线。仿射变换表示如下:
其中
其中
其中,
所以,
千呼万唤始出来,终于到了投影变换,或者叫做单应变换。投影变换是齐次坐标下非奇异的线性变换。然而在非齐次坐标系下却是非线性的,这说明齐次坐标的发明是很有价值的。投影变换比仿射变换多2个自由度,具有8个自由度。上面提到的仿射变换具有的“不变”性质,在投影变换中已不复存在了。尽管如此,它还是有一项不变性,那就是在原图中保持共线的3个点,变换后仍旧共线。投影变换表示如下:
其中
仿射变换和投影变换不同的关键点在于向量
将投影变换矩阵分解为以上提到的变换的链。
其中,
到此为止,我们已经领教了2D到2D的变换。另外一个受到广泛研究的变换是透视变换,它描述了将空间3D点投影成2D点的变换。这种投影发生于这种情形:相机拍摄真实世界多幅图像,然后将结果显示在一副图像平面上。
在齐次坐标下,透视投影被表示为一个3*4的相机矩阵P,如下:
其中
相机矩阵
这里
6个外参跟相机在世界坐标系下的方位有关,包含3个旋转因子(表示为3*3矩阵R),和3个平移因子(表示为一个3维向量)。因此,相机矩阵P可被表示为:
Hartley和Zisserman指出,为了降低自由度,可对相机模型做一些假设。比如假设相机像素是方形的,因此
在相机标定的应用中,比如使用张正友标定法标定相机,
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