证明不等式别忘了函数的性质

 

天津市武清区杨村一中   张克良

 

许多同学在解答不等式证明题时，往往只注意思考，这题又该用不等式的什么性质及定理了？或是该使用比较法还是综合法？还是分析法呢？…….很少有同学想想该用什么函数的性质了.实际上，有不少不等式的证明是要用到函数的性质的.如下题：

【例】 已知： ，求证： .

对此题，不少同学见题后往往不知道怎样入手求证. 究其因，就是没能将此题与所学过的指数函数的性质挂钩所致. 实际上，你只要能想到利用并熟悉指数函数的性质，那么就可用（相除与1比的）比较法来证明此题了.即

证明：∵  ，

∴ ，及 .

又    

· · · · ·

· · · · ·

· · · · ，

∵  ，

∴  ， ， ，及 ， ， .

我们有指数函数的性质可知，指数函数 在 时是增函数，且在 时， .

∴  ， ， .

∴  · · ，

 

∴  ，

∴  .

通过此例及其证明过程，不难看到：我们在证明不等式时确实不能忘了函数的性质.