素数定理

                                     文/施承忠
                                     1914.1.4

                          埃拉托斯特尼筛法的重要结果

     我们有一个表示全部n^2个自然数的一个加法公式：
                                n^2=2(1+2+3+...+n-1)+n,它表示了n^2的全部自然数.以下是当n=7时的表法数：
             【1】=(1)
             【1】=(2)
             【2】=(3)(4)
             【2】=(5)(6)
             【3】=(7)(8)(9)
             【3】=(10)(11)(12)
             【4】=(13)(14)(15)(16)
             【4】=(17)(18)(19)(20)
             【5】=(21)(22)(23)(24)(25)
             【5】=(26)(27)(28)(29)(30)
             【6】=(31)(32)(33)(34)(35)(36)
             【6】=(37)(38)(39)(40)(41)(42)
             【7】=(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)

      刚好是7^2=49个数.这里2，3，5，7是所有这些数中的构成素因子.我们将(1)(4)归入到【1】中，其余的合数都归入到它们的最小素因子【2】【3】【5】【7】中去.

      合数部分：
             【2】(6)(8)(10)(12)(14)(16)(18)(20)(22)(24)(26)(28)(30)(32)(34)(36)(38)(40)(42)(44)(46)(48)
             【3】(9)(15)(21)(27)(33)(39)(45)
             【5】(25)(35)
             【7】(49)

      把那些素数也归入到【2】【3】【5】【7】这些素数中去.

      素数部分：
             【2】(2)(3)
             【3】(5)(7)(11)
             【5】(13)(17)(19)(23)(29)
             【7】(31)(37)(41)(43)(47)

     我们可以看出合数部分愈到下面愈少，而素数部分愈到下面愈多.而且素数部分有这样一个规则，一个素数p必然有p个素数，虽然素数7中我们只写入5个素数，事实上
我们也完全可以写入7个素数，因为我们只要再写上(53)(59)就可以了.那么合数部分我们是否也可以这样写呢？完全可以.

     我们把2的合数写成：
             【2】(6)(8)
     素数部分我们只写一项，合数部分我们写2项
             【4】(10)(12)(14)(16)
             【4】(18)(20)(22)(24)
             【6】(26)(28)(30)(32)(34)(36)
             【6】(38)(40)(42)(44)(46)(48)

    把3的合数写成
             【3】(9)(15)(21)
             【9】(27)(33)(39)(45)
             【9】
    在上面一个【9】中我们只要再写入(51)(57)就可以了，在下面一个【9】中我们只要写入(63)(69)(75)(81)(87)(93)(99)(105)(111)就可以了.

             【7】(49)
    我们只要写入(77)(91)(119)(133)(161)(203)就可以了.

    现在我们知道合数都有他们的归类，素数也有他们的归类，它们各自只要计算自己的部分就可以了，所以我们对于π(x)可以归结为一种简单的结果，我们有：
π(x)～K(x)，其中K(x)=p1+p2+p3+...pk,pk≤√ x.
    我们可以用数学归纳法来证明当pk=pk+1时也不例外.因为当(pk-1)^2到pk^2时，【pk】满足了【pk】=pk1,pk2,pk3,...,pkpkk.而pk+1早就在π(x)中存在，那么在
pk^2到(pk+1)^2中一定存在素数，假定不存在pk+1,那么它至少是pk个素数，但pk+1的合数只有一个，那么它至少有(pk)-1个素数，而且此素数还可以扩大到(pk+1)^2以
外，所以一定存在p(k+1)1,p(k+1)2,p(k+1)3,...,p(k+1)p(k+1)=pk+1个素数.
    我们还可以证明K(x)有两种情况是不可能的：
    第一；
    K(x)不可能为0，除非x<3.因为x>3时，K(4)=2是素数.
    第二；
    k(x)不可能为x,因为所有的自然数不可能都是素数.
    所以0<K(x)<x
    通过以上两点，我们可以知道：当π(x)<K(x)时，K(x)中的素数是密的；当π(x)>K(x)时，k(x)中的素数是稀的.但K(x)不可能永远都是密的，K(x)也不可能永远都
是稀的.所以有无穷多个x，使得π(x)=K(x).
    证毕.