一道平几题的探索（东方论坛.数学板块）

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原问题：（东方论坛数学板块2012/9/24）

如图，四边形ABCD内接于圆O，过O作AB、BC、CD、DA平行线分别交对边于E、F、G、H. 求证：GE∥HF.

原问题解答：（叶中豪）

本题的本质是蝴蝶定理。

证：如图，设四边形ABCD的对边延长线交于S、T，则四边形OESG、OFTH是平行四边形，故OS、OT连线分别平分EG、FH，即ME＝MG，NF＝NH. 过O作EG的平行线，分别交直线CD、DA、AB、BC，于E'、F'、G'、H'. 由ME＝MG知OE'＝OG'，由广蝴蝶定理得OF'＝OH'. 由OF'＝OH'及NF＝NH可知F'H'∥FH. 由此EG∥FH.

命题改编的推导：

反向延长OG交BC于I，反向延长OH交AB于J，

设OE、AD交于点K，OF、CD交于点L，

易得得O,J,B,I四点共圆，记圆心为O[1]，O,L,D,K四点共圆，记圆心为O[2]. 

下证这两个圆是等圆且相切，即证O、O[1]、O[2]共线且OO[1]=OO[2].

关于共线，下证OO[1]∥BD∥OO[2]，设直线OJ与BD交与点M，

∠JMB=∠ADB=(1/2)∠AOB=90°-∠ABO=90°-(1/2)∠JO[1]O=∠JOO[1]，

于是OO[1]∥BD，同理OO[2]∥BD，则三圆心共线，两个小圆相切.

而由于OB=OD，∠OIB=∠OLD，由正弦定理知两小圆为等圆.

从而此题转化为：新问题：如图，圆O[1]与圆O[2]为等圆且相切于点O，且J、B、I在圆O[1]上，L、D、K在圆O[2]上，两圆四组对边交于点G、H、E、F，若JB∥KO，BI∥OL，IO∥LD，OJ∥DA，求证：GE∥HF.

我们说明新命题可以再推回原题的条件，得到两个题目的等价性。

延长BJ、DK交于A，延长BI、DL交于C，易得A、B、C、D四点共圆，

因此只需证明O为该圆的圆心，设A、B、C、D四点共圆于圆O'，

连结BD交直线OJ于点M，由条件所给平行易得∠OJB=∠OKD，

从而OB=OD，由对称性得BD∥O[1]O[2]，

若B、O、D共线，易得BD为圆O'直径，由BO=OD知O为O'.

若B、O、D不共线，

∠ABO'=90°-(1/2)∠AO'B=90°-∠ADB=90°-∠JMB=90°-∠JOO[1]=(1/2)∠JO[1]O=∠JBO，

得O'在直线BO上，同理O'在直线DO上.于是O'与O为同一点.

整理后我们得到这样一道新题：

圆O[1]与圆O[2]为等圆且相切于点A，且B、C、D在圆O[1]上，E、F、G

在圆O[2]上，两圆共四组对边延长线分别交于点H、I、J、K，

若AB∥FG，BC∥GA，CD∥AE，DA∥EF，求证：HJ∥IK

新题解答：

将圆O[1]上的完全四边形ABCDIH关于内公切线LM作轴对称，

得到完全四边形AB'FD'I'H'，其中四边形AB'FD'内接于圆O[2]，

（由∠ABD=∠AGF知AC=AF，即C的对称点为点F）

连结HH'、II'，HH'∥II'，下证△HH'J∼△II'K，则有HJ∥IK.

∠FH'A=∠CHA=∠AJF，即H'、A、F、J四点共圆，

同理有I'、A、F、K四点共圆.而B'D'=BD=GE，则GB'∥D'E.

而HH'=2AH'sin∠H'AL=2AH'sin∠D'FA,同理II'=2AI'sin∠B'FA.

由H'、A、F、J四点共圆，得∠H'JA=∠H'FA=∠JGB，

得H'J∥GB'，同理D'F∥I'K，而GB'∥D'F，则H'J∥I'K.

又(HH'/II')=(2AH'sin∠D'FA/2AI'sin∠B'FA)=((AH'/sin∠B'FA)/(AI'/sin∠D'FA))

=((H'J/sin∠H'AJ)/(I'K/sin∠I'FK))=(H'J/I'K),

且HH'∥II'，从而△HH'J∼△II'K，HJ∥IK.得证.

另：上式还可有一副产品即：

(HJ/IK)=(HH'/II')==((AH'/sin∠B'FA)/(AI'/sin∠D'FA))=((AF/sin∠AJF)/(AF/sin∠AKF))=(sin∠AKF/sin∠AJF).

记△HJA外接圆与△IKA圆半径分别为r[3]、r[4]，

有(r[3]/r[4])=((HJ/sin∠HAJ)/(IK/sin∠KAI))

=((HJ/sin∠AJF)/(IK/sin∠AKF))=(((HJ/IK))^2)

易证这两圆是相切的.

我们又得到了一个新问题：

如图，ABCD内接于圆O，过O作AB、BC、CD、DA

平行线分别交对边于E、F、G、H.

求证：△GEO外接圆与△HFO外接圆相切且半径比为(((GE/HF))^2).