1991年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

    一、选择题

    本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．

１．            设等式 在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则 的值是

     （A）3 ；  （B） ；   （C）2；   （D） ．

　　　　　　　　　　　　　　　                               答（   ）

２．            如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是

（A）    10；      （B）12； 

（C） 16；      （D）18．

　　　　　　　　　　　　　答（  ）

３．            方程 的解是

（A） ；               （B） ；

（C） 或 ；     （D） ．

　　　　　　　　　　　　　　　　　              　           答（   ）

４．            已知： （n是自然数）．那么 ，的值是

（Ａ） ；　　　　　　　（Ｂ） ；

（Ｃ） ；　　　　　（Ｄ） ．

答（　　　）

５．            若 ，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；

（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；

（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（　　　）

６．            若a，c，d是整数，b是正整数，且满足 ， ， ，那么

的最大值是

（Ａ） ；（Ｂ） ；（Ｃ） ；（Ｄ）１．

答（　　　）

７．           

=1

如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是 ， 和 ，那么，正方形OPQR的边长是

（Ａ） ；（Ｂ） ；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．

答（   ）

 

８．            在锐角ΔABC中， ， ， ，ΔABC的外接圆半径 ≤1，则

（Ａ） < c < 2 ；            （Ｂ）0< c ≤ ；

答（   ）

　（C）c > 2； 　　　　　（D）c = 2．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　）

　　二、填空题

１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是           ．

２．已知关于x的一元二次方程 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，              ．

 

3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x >０， 恒成立，则

　　　　　　　．

４．四边形ABCD中，∠ ABC ，∠BCD ，AB ，BC ，

CD = 6，则AD =         ．

 

 

 

 

 

 

第二试

x + y，　x － y，　x y，　

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．

二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且

BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．

求证：BF＝AF＋CF

 

 

 

 

 

 

 

   　三、将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．