1993年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

    一.选择题

本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.多项式 除以 的余式是

(A)1;            (B)-1;           (C) ;        (D) ;

2.对于命题

Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.

Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是

(A)Ⅰ,Ⅱ都对   (B)Ⅰ对,Ⅱ错    (C)Ⅰ错,Ⅱ对.  (D)Ⅰ,Ⅱ都错.

3.设 是实数, .下列四个结论:

Ⅰ. 没有最小值;               

Ⅱ.只有一个 使 取到最小值;

Ⅲ.有有限多个 (不止一个)使 取到最大值;

Ⅳ.有无穷多个 使 取到最小值.

其中正确的是

(A)Ⅰ           (B)Ⅱ            (C)Ⅲ           (D)Ⅳ

4.实数 满足方程组

           

其中 是实常数,且 ,则 的大小顺序是

(A) ;           (B) ;

(C) ;           (D) .

5.不等式 的整数解的个解

(A)等于4       (B)小于4       (C)大于5     (D)等于5

6.在 中, ,

则 的值是   答(    )

(A)           (B)        (C)        (D) .

 

7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于     答(    )

 

(A) ;               (B)      

(C)          (D) .

8. 可以化简成    答(    )

(A) ;    (B)      (C)        (D)

二.填空题

1.当x变化时,分式 的最小值是___________.

2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.

3.若方程 有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则 =____________.

4.锐角三角形ABC中, .以BC边为直径作圆,与AB, AC分别交于

D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们

的面积分别为S₁, S₂,则S₁:S₂=___________.

第二试

一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边

BC的距离变小,这时乘积 的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.

 

 

 

二. 中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将 分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.

 

 

三.已知方程 分别各有两个整数根 及 ,且 .

(1)求证:

(2)求证: ≤ ≤ ;

(3)求 所有可能的值.