全国初中数学竞赛预选赛试题

(考试时间：120分钟，满分140分)

一、选择题：(每小题7分，共42分)

1、已知实数a满足：|2004-a|+ ＝a，那么a-2004²＝(      )

A、2003        B、2004       C、2005      D、2006

2、如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，CD⊥AB于D，在

(1)     DC·AB＝AC·BC，  (2)  

(3)        (4)AC+BC＞CD+AB

中正确的个数是 (      )

A、4          B、3          C、2         D、1

3、实数a，b，c，d满足：a＋b＋c＋d＝1001，ac＝bd＝4，则： = 

A、1001      B、2002        C、2003       D、2004

4、在△ABC中，∠A ＞∠B＞∠C，∠A≠90°，画直线使它把 △ABC 分成两部份，且使其中一部分与△ABC 相似，这样的互不平行的直线有( 　　)条

A、3           B、4            C、5　        D、6

5、已知二次函数y=ax²+c,且当x＝1时，－4≤y ≤－1，当x＝2时,－1≤y≤5，则当x＝3时，y的取值范围是 (　　　)

A、－1 ≤y ≤20    B、 －4 ≤ y ≤15 C、7 ≤y ≤26    D、 ≤ y ≤

6、n是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为a，当n分别乘以3，5，7，9后得到四个乘积，如果其每个乘积的各位数的数字之和仍为a，那么这样的两位数有(　　)个。A、3            B、5            C、7          D、9

二、填空题：（每小题7分，共28分）

7、某电影院的票价是：个人每张6元，每10人一张团体票为40元，学生享受九折优惠，某校1258名学生看电影(教师免票)，学校应向电影院至少付_________________元钱。

8、利用公式(a²＋b²)(c²＋d²)=(ac＋bd)²＋(bc－ad)² 或其它方法找出一组正整数填空：(2²＋92×3²)(4²＋92×5²)=(       ) ²+92×(      ) ²。

9、如图，梯形ABCD的面积为34cm²， AE=BF， CE与DF

相交于O，△OCD的面积为11cm²，则阴影部分的面积为 _       cm²。

10、在表达式S= 中， x₁、x₂、x₃、x₄ 是1、2、3、4的一种排列（即：x₁、x₂、x₃、x₄取1、2、3、4中的某一个数，且x₁、x₂、x₃、x₄ 互不相同）。则使S为实数的不同排列的种数有          种。

三、(本题满分20分)

某同学买某种铅笔，当他买了x支，付了y元（x、y都是整数）时，营业员说：“你要再多买10支，我就总共收你2元钱，这样相当于每买30支，你可节省2元钱”。求x·y。

四、(本题满分25分)

如图：菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点。已知PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、

若既约分数 为矩形ABCD的周长，求m＋n。

五、(本题满分25分)

1、试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同)；又问如何把正方形按上要求分成31个正方形？

2、试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体(要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同)。

 

全国初中数学竞赛预选赛答案

 

一、1. C;    2.B ;  3. B;   4. D;   5. A;   6. B; 

二、7. 4536;  8. 1388，2;   9. 12;   10. 16;

三、根据营业员的话，y的值只能是1或2。            (3分)

(1)当y=1时，则原来每支价格为 元，多买10支，每支节省 元。现在每支价格为( - )元。设多买10支后共m支，则有( - )m=2……(4分)，此时m只能取15, 30, 45, 60……。经讨论只有当m=15，x=5时才符合题意。（6分）

(2)当y=2时，则( - )m= 2  无论m为何整数均不合题意。   (5分)

∴所求x=5、y=1                                          (2分)

（注：y=2不讨论适当扣分）

四、设AS=x、AP=y ……(2分)，由菱形性质知PR SQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心。由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25。由对称性知CQ、CR的长为x、y。则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt△的面积之和。则有：

(20+x)(15+y)=6× ×20×15+2× xy             （8分）

则有  3x+4y=120   (1)

又    x²+y²=625    (2)                          (2分)

得   x₁=20             x₂=

        y₁=15             y₂=                         (5分)

当x=20时    BC=x+BQ=40 这与PR=30不合

故  x=         y=                             (2分)

∴矩形周长为2(15+20+x+y)=                     (5分)

即：m+n=677                                      (1分)

五、

1、容易把一个正方形分成4²=16个正方形，再把其中位于一角的9个拼成一个正方形，共得：16-9+1=8个正方形 。          (8分)

分成16个正方形后，把其中任意5个分成4个小正方形，共有16-5+5×4=31个正方形。                                      (8分)

2、把立方体分割成3³=27个立方体，再把其中4个各分成2³=8个立方体，共27-4+4×2³=55个立方体。                    （9分）