2009年全国初中数学联合竞赛试题

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1． 设 ，则 （     ）

A．24         B． 25        C．        D．

2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝（    ）

A．       B．        C．          D．

3．用 表示不大于 的最大整数，则方程 的解的个数为（    ）

A．1         B． 2         C． 3           D． 4

4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为（   ）

A．        B．        C．          D．

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，

自点A作半圆的切线AE，则 CBE＝（    ）

A．       B．        C．          D．

6．设 是大于1909的正整数，使得 为完全平方数的 的个数是（   ）

A．3        B． 4         C． 5         D． 6

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．已知 是实数，若 是关于 的一元二次方程 的两个非负实根，则 的最小值是____________．

2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为 和 ，则四边形DECF的面积为__     ____．

3．如果实数a、b满足条件 ， ，则a + b =      ____．

4．已知a、b是正整数，且满足 是整数，则这样的有序数对（a，b）共有___        _对．

第二试 （A）

一、（本题满分20分）已知二次函数 的图象与 轴的交点分别为A、B，与 轴的交点为C．设△ABC的外接圆的圆心为点P．

（1）证明：⊙P与 轴的另一个交点为定点．

（2）如果AB恰好为⊙P的直径且 ，求 和 的值．

 

二、（本题满分25分）设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高， 、 分别是△ADC、△BDC的内心，AC＝3，BC＝4，求 ．

 

三、（本题满分25分）已知 为正数，满足如下两个条件：

                      ①

   ②

证明：以 为三边长可构成一个直角三角形．

 

 

第二试 （B）

一、（本题满分20分）题目和解答与（A）卷第一题相同．

 

二、（本题满分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线 AM、BN分别交于P、Q两点．PM、QN的中点分别为E、F．求证：EF∥AB．

 

 

 

 

 

 

 

三、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同．

 

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试： ACCBDB；  -3， ，-1，-7

第二试 （A）

一、解：（1）易求得点 的坐标为 ，设 ， ，则 ， ．

设⊙P与 轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O，所以OA×OB＝OC×OD，则 ．

因为 ，所以点 在 轴的负半轴上，从而点D在 轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为（0，1）．   

（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点 的坐标为 ，即 ．

又 ，

所以 ，解得 ．

 

二、解：作 E⊥AB于E， F⊥AB于F．

在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4， ．

又CD⊥AB，由射影定理可得 ，故 ，

．

因为 E为直角三角形ACD的内切圆的半径，所以 ＝ ．

连接D 、D ，则D 、D 分别是∠ADC和∠BDC的平分线，所以∠ DC＝∠ DA＝∠ DC＝∠ DB＝45°，故∠ D ＝90°，

所以 D⊥ D， ．

同理，可求得 ， ． 所以 ＝ ．

三、证法1  将①②两式相乘，得 ，

即 ，

即 ，

即 ， 

即 ，

即 ，

即 ，即 ，

即 ， 

所以 或 或 ，即 或 或 ．

因此，以 为三边长可构成一个直角三角形．

 

证法2  结合①式，由②式可得 ，

变形，得               ③  

又由①式得 ，即 ，

代入③式，得 ，即 ．    

，

所以 或 或 ．

结合①式可得 或 或 ．

因此，以 为三边长可构成一个直角三角形．

 

第二试 （B）

一、解答与（A）卷第一题相同．

二、解：因为BN是∠ABC的平分线，所以 ．

又因为CH⊥AB，

所以 ，

因此 ．

又F是QN的中点，所以CF⊥QN，所以 ，

因此C、F、H、B四点共圆．                                       

又 ，所以FC＝FH，故点F在CH的中垂线上．

同理可证，点E在CH的中垂线上．

因此EF⊥CH．又AB⊥CH，所以EF∥AB．

三、解答与（A）卷第三题相同．