2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试

一、选择题1．设 ， ，且 ，则代数式 的值为      （  B  ）

 5.          7.            9.          11.

 

提示： 是方程 两个不同根，故 .

 

2．如图，设 ， ， 为三角形 的三条高，

若 ， ， ，则线段 的长为     （   D ）

.         4.          .         .

提示： ，可得 ，故 中由勾股定理得

 

3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中依次取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是          （   C ）

.           .         .          .

 

提示：卡片一共有20种取法，其中 ，满足条件的有 种.

 

4．在△ 中， ， ， 和 分别是这两个角的外角平分线，

 

且点 分别在直线 和直线 上，则    （  B  ）

.                .

  .               和 的大小关系不确定.

 

      提示： 都是等腰三角形.

 

5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为 ，则 的最小值为（  B  ）

  .            .            .            .

     提示：将价格从高到低排列，相邻价格之间的比值至少是

6． 已知实数 满足 ，

 

则 的值为       （  D  ）

 

  .        2008.          .        1.

提示： ，同理

，故 .

二、填空题1．设 ，则 _________.-2

提示：

2．如图，正方形 的边长为1， 为 所在直线上的

两点，且 ， ，则四边形 的面积

为___________.

 

提示：

 

 

3．已知二次函数 的图象与 轴的两个交点的横坐标分别为 ， ，且 .设满足上述要求的 的最大值和最小值分别为 ， ，则 __________.

提示： 满足条件.

 

4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是___________.1

提示：平方数为一位数的有3个，平方数为两位数的有6个，依此类推.

第二试（A）

一、已知 ，对于满足条件 的一切实数 ，不等式

 

恒成立.当乘积 取最小值时，求 的值.

 

解：设 ，则

= =

当 时， ，当 时， ，故 .

若 ，则 ， ，不恒大于等于0，故 即 ，同理 .

当 时，

（1）       当 ，即 时，

，故 ，即 .

（2）       当 ，即 时，

综上所述， 最小值是 ，此时 或 .

 

 

二、如图，圆 与圆 相交于 两点， 为圆 的切线，点 在圆 上，且 .

 

（1）证明：点 在圆 的圆周上.

 

（2）设△ 的面积为 ，求圆 的的半径 的最小值.

解：(1)连接 ，则 ，又 ，故等腰

， .由于 为圆 的切线，

 

 

 

 

 

故弦切角 所夹劣弧长为 所夹劣弧长的2倍，即半径 所在直径

 

通过弧 的中点，即点 在圆 上.

 

（2）连接 ，则 ，故     ，又 ，故 ，即 ，且当 为圆 的直径时可以取等号，故 的最小值是 .

 

三、设 为质数， 为正整数，且  求 ， 的值.

 

解：将原等式整理为关于 的一元二次方程：

，由于 为正整数，则方程判别式 是完全平方数，即 为完全平方数，设 ，则

，即 ，由于 ，故 同为奇数或者同为偶数，且不同是被3整除.

当 时，检验得 不是完全平方数

当 时，检验得 不是完全平方数

当 时，由上面分析可知 共4种分解方式可能满足条件.

当 时， 不是整数，当 时， 不是整数，

当 或 时， 不是质数，

当 时， 是质数，此时只有 满足条件，

 

综上所述， ， .

 

附：一。（B、C卷）已知 ，对于满足条件 的一切实数对 ，不等式 恒成立.当乘积 取最小值时，求 的值.

三．（C卷）设 为质数， 为正整数，且满足

，求 的值.