八年级数学竞赛讲座第五讲 有条件的分式的化简与求值

第五讲 有条件的分式的化简与求值

    给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．

    解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:

1．恰当引入参数；

2．取倒数或利用倒数关系；

3．拆项变形或拆分变形；

4．整体代入；

5．利用比例性质等．

例题求解

【例1】若 ，则 的值是            ．

    (第12届“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨  引入参数，利用参数寻找a、b、c、d的关系．

  注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径：

  (1)直接运用条件；

  (2) 变形运用条件；

  (3) 综合运用条件；

  (4)挖掘隐含条件．

在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．

【例2】如果 ， ，那么 等于(    )

  A．1    B．2    C．3    D．4

    (2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛)

思路点拨  把c、a用b的代效式表示．

   【例3】已知 ， ， ，求代数式 的值．  (2003年北京市竞赛题)

  思路点拨    直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x－y，x=2－y－z，z＝2－x－y，从变形分母入手．

   【例4】不等于0的三个数a、b、c满足 ，求证a、b、c中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)

   

    思路点拨  要证a、b、c中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．

   【例5】 (1)已知实数a满足a²－a－1=0，求 的值．

    (2003年河北省竞赛题)

 (2)汜知 ，求 的值．

    (“北京数学科普日”攻擂赛试题)

  思路点拨  (1)由条件得a²=a+1， ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是 、 、 三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出 + + 的值是解本例的关键．

学历训练

1．已知 ，那么 =          ．

    (2003年淄博市中考题)

2．已知 ，则 =          ．

3．若a、b、c满足a+b +c=0，abc>0，且 ，y= ，则 =         ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)

4．已知 ，则 =        ．

(第12届“五羊杯”竞赛题)

5．已知a、b、c、d都是正数，且 ，给出下列4个不等式：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的是(    )

A．①③    B．①④    C．②④    D．②③

  (2002年山东省竞赛题)

6．设a、b、c是三个互不相同的正数，如果 ，那么(    )

    A． 3b=2c    B．3a=2b  C．2b=c  D．2a=b

(“祖冲之杯”邀请赛试题)

7．若4x—3y一6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则代数式 的值等于(    )．

A．        C．－15   D． －13

(2003年全国初中数学竞赛题)

8．设轮船在静水中速度为 ，该船在流水(速度为 < )中从上游A驶往下游B，再返回A，所用时间为T，假设 =0，即河流改为静水，该船从A至B再返回B，所用时间为t，则(    )

A．T=t    B．T<t    C．T>t     D．不能确定T、t  的大小关系

9．(1)化简，求值： ，其中 满足 ；

    (2002年山西省中考题)

(2)设 ，求 的值．

10．已知 ，其中x、y、z互不相等，求证：x²y²z²=1．

11．若 ，且 ，则 =     ．

12．已知a、b、c满足 ， ，那么 a+b+c的值为       ．

13．已知 ， ， ，则x的值为      ．

14．已知x、y、z满足 ， ， ，则xyz的值为     ．

    (2003年全国初中数学竞赛题)

15．设a、b、c满足abc≠0，且 ，则 的值为

A．－1    B．1      C．2    D．3         (2003年南通市中考题)

16．已知abc=1，a+b+c=2， ，则 的值为(    )

A．－1    B．       C．2    D．   

    (大原市竞赛题)

17．已知—列数 、 、 、 、 、 、 ，且 =8， =5832， ，则 为（   ）

  A．648    B． 832    C．1168    D．1944

18．已知 ，则代数式 的值为(     )

    A．1996    B．1997    C．1998    D．1999

19．（1）已知 ，求 的值；

    (2)已知x、y、z满足 ，求代数式 的值．(2002年北京市竞赛题)

20．设a、b、c满足 ，求证：当n为奇数时，    (波兰竞赛题)

21．已知 ，且 ，求x的值．

    (2000年上海市高中理科班招生试题)

22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．

(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；

(2)求B组检验员的人数．                                (2001年天津市中考题)