8年级数学竞赛辅导讲座 判别式——二次方程根的检测

第二讲 判别式——二次方程根的检测

      为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等．我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：

    利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；

    运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；

    通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

    借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题．

【例题求解】

【例1】 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是         ．                             (广西中考题)

思路点拨  利用判别式建立关于 的不等式组，注意 、 的隐含制约．

 

注：运用判别式解题，需要注意的是：

    (1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；

    (2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识．

【例2】 已知三个关于 的方程： ， 和 ，若其中至少有两个方程有实根，则实数 的取值范围是(    )

A．     B． 或      C．      D．

（山东省竞赛题）

思路点拨  “至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于 的不等式组，综合判断选择．

 

 

【例3】 已知关于 的方程 ，

 (1)求证：无论 取任何实数值，方程总有实数根；

 (2)若等腰三角形△ABC的一边长 ＝1，另两边长 、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．                            (湖北省荆门市中考题)

思路点拨  对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分 或 、 中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出 、 的值．

 

 

注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍．

  （2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法．

【例4】 设方程 ，只有3个不相等的实数根，求 的值和相应的3个根．                                                     (重庆市竞赛题)

思路点拨  去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．

 

 

 

【例5】已知：如图，矩形ABCD中，AD＝ ，DC＝ ，在 AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝ ，问：这样的点E是否存在?若存在，

  这样的点E有几个?请说明理由．                    (云南省中考题)

思路点拨  要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，点E必须满足∠AED+∠BEC＝90°，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数．

 

 

 

 

 

 

注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：

 (1)利用根的定义构造；

 (2)利用根与系数关系构造；

 (3)确定主元构造．

 

学力训练

1．已知 ，若方程 有两个相等的实数根，则 =      ．

2．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是      ． 

 (辽宁省中考题)

3．已知关于 方程 有两个不相等的实数解，化简 =   ．

4．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是(    )

    A．      B．     C． 且   D． 且

(山西省中考题)

5．已知一直角三角形的三边为 、 、 ，∠B＝90°，那么关于 的方程 的根的情况为(    )

    A．有两个相等的实数根      B．没有实数根

    C．有两个不相等的实数根    D．无法确定

                                                        (河南省中考题)

6．如果关于 的方程 只有一个实数根，那么方程 的根的情况是(    )

    A．没有实数根                B．有两个不相等的实数根

    C．有两个相等的实数根        D．只有一个实数根

                                                     (2003年河南省中考题)

7．在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的对边分别为 、 、 ，已知 ， 和 是    关于 的方程 的两个实数根，求△ABC的周长． 

(济南市中考题)

8．已知关于 的方程

 (1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；

 (2)如果方程的两实根分别为 、 ，满足 =3 ，求实数 的值．

                                                        (盐城市中考题)

9． 、 为实数，关于 的方程 有三个不等的实数根．

(1)求证： ；

(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；

(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求 和 的值．

                                                   (江苏省苏州市中考题)

10．关于的两个方程 ， 中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是               ．  (2002年四川省竞赛题)

11．当 =    ， =     时，方程 有实数根．  

(全国初中数学联赛试题)

12．若方程 有且只有相异二实根，则 的取值范围是           ．

13．如果关于 的方程 没有实数根，那么关于 的方程 的实根的个数(    )

  A．2      B．1       C．0      D．不能确定

 

14．已知一元二次方程 ，且 、 可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有(    )

  A12个    B．10个    C． 7个   D．5个               (河南省中考题)

15．已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足方程 ，则方程根的情况是(    )

  A．有两相等实根    B．有两相异实根     C．无实根    D．不能确定

                                                         (河北省竞赛题)

16．若a、b、c、d>0，证明：在方程 ①； ②； ③； ④中，至少有两个方程有两个不相等的实数根．                                         (湖北省黄冈市竞赛题)

17．已知三个实数a、b、c满足 ，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于 ·

18．关于 的方程 有有理根，求整数是的值．    (山东省竞赛题)

19．考虑方程 ①

(1)若 =24，求一个实数 ，使得恰有3个不同的实数 满足①式．

(2)若 ≥25，是否存在实数 ，使得恰有3个不同的实数 满足①式?说明你的结论．

(国家理科实验班招生试题)

20．如图，已知边长为 的正方形ABCD内接于边长为 的正方形EFGH，试求 的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

参考答案