现在中考题目越来越灵活,需要考生具有短时间内分析解决具体问题的能力。这是北京市中考数学的一道大题,题型灵活,难道不小。
如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,P是线段BC上一动点(与点B、C不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QH⊥AP于点H,交AB于点M。
(1),若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示);
(2),用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明。
分析:考试中综合题的第一问一般比较简单,但结论往往会作为下一问的基础。
本题第一位是送分题,∠AMQ=90°-∠HAM=90°-(45°-α)=45° α
比较难的是第二问,提问的方式也很灵活。怎么思考?
要求的是MB和PQ的数量关系,现在PQ的1/2即PC已经在直角三角形中,自然想到将MB也通过三角形边长的形式表达出来。
很明显,通过点M作CB的垂线ME,那MB就等于√2ME。
这时很容易观察到△ACP∽△QME(易知∠CAP=∠HQP)
但三角形相似还不够,需要的是能够全等。
如果能够证明QM=AP,那△ACP和△QME就全等了。
这时就注意题目中有一个很重要的条件,就是QC=PC,马上可以想到连接AQ,则很容易知道△APQ是等腰三角形,AP=AQ。
现在问题就变为在△AQM中,证明QM=QA。
这就用到问题1的结论,∠AMQ=45° α ,
而∠QAM=45° ∠QAC=45° ∠PAC=45° α。
所以有QA=QM,从而△ACP≌△QME,ME=CP
于是MB=√2ME=√2CP=√2/2QP,或者QP=√2MB。