1989小学数学奥林匹克试题决赛及答案

　　1.计算： 2.某水池可以用甲、乙两个水管注水.单放甲管需12小时注满，单放乙管需24小时注满.现在要求10小时注满水池，并且甲乙两管合放的时间尽可能地少，那么甲乙两管合放最少需________小时.

　　3.有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上：

　　那么，这10张纸片所盖住桌面上的面积是_________平方厘米.

　　4.用圆圈列出的10个数按时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如 ，如图所示，那么在所有这种数中最大的一个是__________.

　　5.有一列数1，1989，1988，1987，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，那么第1989个数是__________.

　　6.甲乙两地之间有一条公路，李明从甲地出发步行往乙地;同时张平从乙地出发骑摩托车往甲地.80分钟后两人在途中相遇，张平到达甲地后，马上折回往乙地，在第一次相遇后又经过20分钟张平在途中追上李明.张平到达乙地后又马上折回往甲地，这样一直下去，当李明到达乙地时，张平追上李明的次数是__________次.

　　7.图(a)是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径.让A点不动，把整个半圆逆时针转60°角，此时B点移动到 >点，见图(b)，那么图中阴影部分的面积是_________平方厘米.(π=3.14)

　　8.有4个不同的自然数，它们当中任意两个的和是2的倍数;任意3个数的和是3的倍数，为了使得这4个数的和尽可能小，这4个数分别是__________.

　　9.在桌面上放置3个两两重迭、形状相同的圆形纸片.它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积和是_________平方厘米.

　　10.图中，把正方体的6个表面都分成9个相等的正方形.现在用红、黄、蓝3种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形颜色不同.那么用红色染成的正方形的个数最多是__________个.

　　11.A、B、C、D、E5个人参加乒乓球赛，每两人都要赛一盘，并且只赛一盘.规定胜者得2分，负者得0分.现在知道比赛结果是：A和B并列第一名，C是第二名，D和E并列第四名，那么C的得分是__________分.

　　12.从1，2，3，4，…，1988，1989这些自然数中。最多可以取__________个数，其中每两个数的差不等于4.

　　13.在长260厘米，宽150厘米的台球桌上，有A，B，C，D，E，F，6个球袋，其中AB=EF=130厘米.现在从A处沿45°方向打出一球，如图所示，碰到桌边后又沿45方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿45方向弹出，如此继续下去，直到落入某个袋中为止.那么它将落入__________袋中.

　　14.将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知其总和为170，如果去掉最大的数和最小的数那么剩下的数的总和为150，在原来已排成的次序中第二个数是__________.

　　15.将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：123456789101112113…，如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是__________.

　　参考答案：

　　1.【解】原式= ×[ ×(4.85+6.15)-3.6]+[5.5- × ]

　　= ×3.6×(11-1)+11×(0.5- )

　　=9+ =10 2.【解】 (小时).

　　3.【解】第一张纸片盖住的面积是3×2=6(平方厘米)后而每增加一张(纸片).多盖

　　(3-2)×2=2(平方厘米).

　　于是，这10张纸片盖住桌面上的面积是

　　6+2×9：24(平方厘米)

　　4.【解】最大的是 5.【解】数列1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，…中每隔3个数有一个1，去掉1以后，每个数比前一个少1.

　　1989÷3=663，

　　所以第1989个数是1989-663×2+1=664.

　　6.【解】假设李明20分钟行走1份，则李明80分钟走4份，于是，张平在20分钟内可行驶

　　4×2+1=9(份)

　　即李明与张平的速度比为1∶9

　　由此，当李明从甲走到乙时张明从乙到甲，从甲到乙，…，共走了9次

　　于是，张平共追上李明

　　(9-1)÷2=4(次)

　　7.【解】阴影部分的面积等于全部图形的面积减去一个直径为3厘米的

　　半圆的面积，从而等于一个半径为3厘米的圆的面积的 .即

　　×π× ={×3.14×9-4.71(平方厘米)

　　8.【解】任两个数的和是2的倍数，所以这些数的奇偶性相同

　　任三个数的和是3的倍数，所以这些数除以3，所得余数必定相同(否则在三个数的和中换一个数，和将不是3的倍数)

　　于是，这些数除以6所得余数相同。和最小的四个数是1，7(=1+6)，13(=7+6)，19=(13+6).

　　9.【解】阴影部分的面积和

　　=100×3-144 2×42

　　=72(平方厘米)

　　10.【解】最多是22个.

　　将图中三个面上打点的方格染红，打×的方格染黄，其余的染蓝，它们的对面也同样地涂色，这样就有

　　(5+4+2)×2=22

　　个方格染红，而且有公共边的正方形颜色不同

　　【注】要证明红色的正方形不能超过22个，需要用枚举法，将正方体切成三层，上面一层只有一种方式使红色的方格超过8个，即图2.

　　中央一层最多可染6个红色方格，即图3。但上一层红色方格有9个时，中央一层只能染4个红色方格，所以红色方格的总数≤9+4+9或8+6+8.

　　即不超过22个.

　　11.【解】每个人的得分都是偶数，D、E二人比赛时，胜者得2分，所以D、E的得分至少是2,C的得分至少是4，如果C的得分大于4，那么A、B的得分大于6，五人总分大于

　　2×2+4+6×2=20

　　但五个人共赛

　　5×4÷2=10

　　盘，总得分为

　　10×2=20

　　因此，C的得分只能是4(这时A、B各得6分).

　　12.【解】将1～1989排成四个数列：

　　1，5，9，…，1985，1989

　　2，6，10，…，1986

　　3，7，11.…，1987

　　4，8，12，…，1988

　　每个数列相邻两项的差是4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于4，每个数列中不能取相邻的项，因此，第一个数列只能取出一半，因为它有(1989-1)÷4+1=498项，所以最多取出249(=498÷2)项，例如1，9，13，…，1985.同样，后三个数列每个最多可取249项，因而最多取出

　　249×4=996

　　个数，其中每两个的差不等于4.

　　13.【解】将每个点用一对坐标表示.前一个是这点到FA的距离，后一个

　　是这点到FD的距离，于是A的坐标是(0，150)，球经过的路线如下：

　　(0，l50)→(150，0)→(260，110)→(220，150)→(70，0)→(0，70)→(80，

　　150)→(230,0)→(260，30)→(140，150)→(0,10)→(10，0)→(160，150)→

　　(260,50)→(210，0)→(60，150)→(0，90)→(90，0)→(240，150)→(260，130)

　　一(130，0)

　　因此，该球最后落入E袋

　　14.【解】由题意可知最大数与最小数之和为20。若20分成1+19，即最小数为1，最大数为19.只有当其余12个数为7、8、9…18时，其和才为150(= )，此时原来排成的次序中第二个数为7

　　若20分成2+18，即最小的数为2，最大的数为18，其余12个数的和最大只能为138(= )与题意不符。同理其余情形也不合题意。

　　故在原来已排成的次序中第二个数为7。

　　15.【解】注意到能被72整除的数必能被8和9整除。从而数字和为9的倍数，且末三位构成的数为8的倍数。于是可得这个自然数为36[536被8整除。(1十2+3+…+9)×(1+1十1)+1×9十1+2×9+2+3×7十1+2+3+4+5+6被9整除]