平面几何----张角定理及西姆松定理
张角定理:设A,C,B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA,PC,PB上的点,线段AC,CB对点P的张角分别为且,则A,C,B三点共线的充要条件是:.
例1. 如图,已知ABCD为四边形,两组对边延长后得到交点E,F,对角线BD//EF,AC的延长线交EF于G,求证:EG=GF.
例2. 已知的顶点A,B,C对应的三边长分别为a,b,c,E为其内切圆圆心,AE交BC于D,求证:
例3. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分在CD上取一点E,BE与AC相交于F,延长DF交BC于G,求证:
例4. 如图,已知AM是的边BC上的中点,任作一直线顺次交AB,AC,AM于P,Q,N,求证:成等差数列.
西姆松定理:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线(此线常称为西姆松线).
西姆松定理的逆定理: 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则改点在此三角形的外接圆上.
例1. 如图,过正外接圆的上点P作PD直线AB于D,作PEAC于E,作于F,求证:
例2. 如图,设AD,BE,CF为的三条高线,自D点作于P,于Q,于R,于S,连PS. 求证:Q,R在直线PS上.
例3. 如图,设P为外接圆上一点,作交圆周于,作直线交圆周于,作交圆周于,求证: