平面几何----张角定理及西姆松定理

张角定理：设A，C，B顺次分别是平面内一点P所引三条射线PA，PC，PB上的点，线段AC，CB对点P的张角分别为

且

，则A，C，B三点共线的充要条件是：

.

 

 

例1． 如图，已知ABCD为四边形，两组对边延长后得到交点E，F，对角线BD//EF，AC的延长线交EF于G，求证：EG=GF.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例2． 已知

的顶点A，B，C对应的三边长分别为a，b，c，E为其内切圆圆心，AE交BC于D，求证：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分

在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例4. 如图，已知AM是

的边BC上的中点，任作一直线顺次交AB，AC，AM于P，Q，N，求证：

成等差数列.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）.

 

西姆松定理的逆定理： 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则改点在此三角形的外接圆上.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例1. 如图，过正

外接圆的

上点P作PD

直线AB于D，作PE

AC于E，作

于F，求证：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例2. 如图，设AD，BE，CF为

的三条高线，自D点作

于P，

于Q，

于R，

于S，连PS. 求证：Q，R在直线PS上.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3. 如图，设P为

外接圆上一点，作

交圆周于

，作

直线

交圆周于

，作

交圆周于

，求证：