四年级奥数：定义新算法

导读

我们学过的常用运算有：+、-、×、÷　

 如：2+3=5

　　 2×3=6

　　都是2和3，为什么运算结果不同呢?

主要是运算方式不同，实际是对应法则不同。

       可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“+”，“-”，“×”，“÷”运算不相同.

　　我们来通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.

01

　例1 设a、b都表示数，规定a△b=3×a—2×b，

　　①求 3△2， 2△3;

　　②这个运算“△”有交换律吗?

　　③求(17△6)△2，17△(6△2);

　　④这个运算“△”有结合律吗?

　　⑤如果已知4△b=2，求b.

分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.

解：① 3△2= 3×3-2×2=9-4= 5

　　2△3=3×2-2×3=6-6=0.

　　②由①的例子可知“△”没有交换律.

　　③要计算(17△6)△2，先计算括号内的数，有：17△6=3×17-2×6=39;再计算第二步

　　39△2=3 × 39-2×2=113，

　　所以(17△6)△2=113.

　　对于17△(6△2)，同样先计算括号内的数，6△2=3×6-2×2=14，其次

　　17△14=3×17-2×14=23，

　　所以17△(6△2)=23.

　　④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b=3×4-2×b=12-2b，那么12-2b=2，解出b=5.

02

例2 定义运算※为a※b=a×b-(a+b)，①求5※7，7※5;

　　②求12※(3※4)，(12※3)※4;

　　③这个运算“※”有交换律、结合律吗?④如果3※(5※x)=3，求x.

　　

解：① 5※7=5×7-(5+7)=35-12=23，7※ 5= 7×5-(7+5)=35-12=23.

　　②要计算12※(3※4)，先计算括号内的数，有：3※4=3×4-(3+4)=5，再计算第二步12※5=12×5-(12+5)=43，

　　所以 12※(3※4)=43.

　　对于(12※3)※4，同样先计算括号内的数，12※3=12×3-(12+3)=21，其次

　　21※4=21×4-(21+4)=59，所以(12※ 3)※4=59.③由于a※b=a×b-(a+b);

　　b※a=b×a-(b+a)

　　=a×b-(a+b)(普通加法、乘法交换律)

　　所以有a※b=b※a，因此“※”有交换律.

　　由②的例子可知，运算“※”没有结合律.

　　④5※x=5x-(5+x)=4x-5;

　　3※(5※x)=3※(4x-5)

　　=3(4x-5)-(3+4x-5)

　　=12x-15-(4x-2)

　　= 8x- 13

　　那么 8x-13=3

　　解出x=2.

03

　　③这个运算有交换律和结合律吗?