五年级奥数：奇数的无穷多与变换

例1 对任意两个不同的自然数，将其中较大的数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换：

　　18，42→18，24→18，6→12，6→6，6。

　　直到两数相同为止。问：对12345和54321进行这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？为什么？

【解析】

 如果两个数的最大公约数是a，那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中，所得两数的最大公约数始终不变，所 以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3，所以最后得到的两个相同的数是3。

说明 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法

例2 在图1中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算作一次变换。经过若干次变换后，图1变为图2。问：图2中A格中的数字是几？

　

【解析】

每次变换都是在相邻的两格，我们将相邻的两格染上不同的颜色（如图3）。

因为每次变换总是一个黑格与一个白格的数字同时加上或减1，所以所有黑格内的数字 之和与所有白格内数字之和的差保持不变。

因为图1的这个差是13，所以图2的这个差也是13。由（A＋12）－12＝13得A＝13。

例3 黑板上写着三个整数，任意擦去其中一个，将它改写成为其它两数之和减1，这样继续下去，最后得到3，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？

【解析】

 答案是否定的。

注意到2，2，2按照题设中的方式首先变换为2，2，3，再变换下去必定其中两个为偶数，一个为奇数（数值可以改变，但奇偶性不变）。

但3，1997，1999是三个奇数，所以2，2，2永远不会按照所述方式变为3，1997，1999。