例1 对任意两个不同的自然数,将其中较大的数换成这两数之差,称为一次变换。如对18和42可进行这样的连续变换: 18,42→18,24→18,6→12,6→6,6。 直到两数相同为止。问:对12345和54321进行这样的连续变换,最后得到的两个相同的数是几?为什么? 【解析】 如果两个数的最大公约数是a,那么这两个数之差与这两个数中的任何一个数的最大公约数也是a。因此在每次变换的过程中,所得两数的最大公约数始终不变,所 以最后得到的两个相同的数就是它们的最大公约数。因为12345和54321的最大约数是3,所以最后得到的两个相同的数是3。 说明 这个变换的过程实际上就是求两数最大公约数的辗转相除法 例2 在图1中,对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1,这算作一次变换。经过若干次变换后,图1变为图2。问:图2中A格中的数字是几? 【解析】 每次变换都是在相邻的两格,我们将相邻的两格染上不同的颜色(如图3)。 因为每次变换总是一个黑格与一个白格的数字同时加上或减1,所以所有黑格内的数字 之和与所有白格内数字之和的差保持不变。 因为图1的这个差是13,所以图2的这个差也是13。由(A+12)-12=13得A=13。 例3 黑板上写着三个整数,任意擦去其中一个,将它改写成为其它两数之和减1,这样继续下去,最后得到3,1997,1999,问原来的三个数能否是2,2,2? 【解析】 答案是否定的。 注意到2,2,2按照题设中的方式首先变换为2,2,3,再变换下去必定其中两个为偶数,一个为奇数(数值可以改变,但奇偶性不变)。 但3,1997,1999是三个奇数,所以2,2,2永远不会按照所述方式变为3,1997,1999。
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