例1 有1000箱外形完全相同的产品,其中999箱重量相同,有1箱次品重量较轻。现有一个称(一次可称量500箱),怎样才能尽快找出这箱次品?
因为称量一次只有两种结果:等于规定重量或轻于规定重量,所以可用对分法。
先取500箱称,若等于规定重量,则次品在另500箱中;若轻于规定重量,则次品在这500箱中。
然后对有次品的500箱再对分,取其中的250箱称……
因为1000<1024=210,所以经过10次称必可查出次品。
若一次试验可以有三种不同的结果,则可用三分法。
例2 现有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同、但重量较轻的假珍珠,怎样才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来?
因为天平称重有三种结果;①两边一样重,②左边重,③右边重,所以可以用三分法。
先将81粒珍珠三等分,在天平两边各放27粒珍珠,天平下还有27粒。若两边一样重,则假珍珠在天平下的27粒中;若左边重,则假珍珠在天平右边的27粒中;若右边重,则假珍珠在天平左边的27粒中。
然后再将有假珍珠的一堆三等份,继续上面的做法。因为81=34,所以只需要称4次就可将假珍珠挑出来。
例3 甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币。规则是:每人每次只能放一枚,硬币不许重叠,谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放,谁就获胜。如果甲先放,那么他怎样放才能取胜?
这道题初看太抽象,既不知道圆桌的大小,又不知道硬币的大小,谁知道该怎样放呀!
我们用对称的思想来分析一下。圆是关于圆心对称的图形,若A是圆内除圆心外的任意一点,则圆内一定有一点B与A关于圆心对称(见右图,其中AO=OB)。
所以,圆内除圆心外,任意一点都有一个(关于圆心的)对称点。由此可以想到,只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处,以后无论乙将硬币放在何处,甲一定能找到与之对称的点放置硬币。
也就是说,只要乙能放,甲就一定能放。最后无处可放硬币的必是乙。
甲的获胜策略是:把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处,以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币。
这种利用对称思想的获胜策略体现出了一种机智,而这种机智来源于数学思想。同学们经常进行这种锻炼,就会变得越来越聪明。
比如,有两堆火柴,第一堆20根,第二堆25根,甲、乙二人轮流从中取火柴,每次可以从任一堆中取走任意数量的火柴,取走最后一根火柴者胜。
甲先取,怎样才能保证获胜?利用对称的思想分析,只要甲先从第二堆中取走5根,此时两堆火柴的数量相等(也是一种对称),以后无论乙从哪一堆取多少根火柴,甲都对称地从另一堆取相同数量的火柴,只要乙能取,甲就能取,所以最后一根必被甲取走,甲胜。
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