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1. 用1×1,2×2,3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形,最少要用1×1的正方形多少个?
分析与解:用3个2×2正方形和2个3×3正方形可以拼成1个5×6的长方形(见左下图)。用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形可以拼成 1个11×11的大正形(见右下图)。
上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2,3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形。那么,不用1×1的正方形,只用2×2,3×3的正方形可以拼成11×11的正方形吗?
将11×11的方格网每隔两行染黑一行(见下页右上图)。将2×2或3×3的正方形沿格线放置在任何位置,都将覆盖住偶数个白格,所以无论放置多少个2×2或3×3的正方形,覆盖住的白格数量总是偶数个。但是,右图中的白格有11×7=77(个),是奇数,矛盾。由此得到,不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。
综上所述,要拼成11×11的正方形,至少要用1个1×1的小正方形。
2.求99边形的内角和。
分析与解:三角形的内角和等于180°,可是99边形的内角和怎样求呢?我们把问题简化一下,先求四边形、五边形、六边形……的内角和,找一找其中的规律。
如上图所示,将四边形ABCD分成两个三角形,每个三角形的内角和等于180°,所以四边形的内角和等于180°×2= 360°;同理,将五边形ABCDE分成三个三角形,得到五边形的内角和等于180°×3=540°;将六边形ABCDEF分成四个三角形,得到六边形的内角和等于180°×4=720°。
通过上面的图形及分析可以发现,多边形被分成的三角形数,等于边数减2。由此得到多边形的内角和公式:
n边形的内角和=180°×(n-2)(n≥3)。
有了这个公式,再求99边形的内角和就太容易了。
99边形的内角和=180°×(99-2)=17460°。
3.对于任意一个自然数 n,当 n为奇数时,加上121;当n为偶数时,除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作,在操作过程中是否可能出现100?为什么?
讨论:同学们碰到这种题,可能会“具体操作”一下,得到
这个过程还可以继续下去,虽然一直没有得到100,但也不能肯定得不到100。当然,连续操作下去会发现,数字一旦重复出现后,这一过程就进入循环,这时就可以肯定不会出现100。因为这一过程很长,所以这不是好方法。
解:因为231和121都是11的倍数,2不是11的倍数,所以在操作过程中产生的数也应当是11的倍数。100不是11的倍数,所以不可能出现。
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