从有趣的五位数，看枚举法的应用

小编有话说

　　下面是一个很有趣的数学题，题目内容是这样的：用1，2，3，4，5排成一个五位数，使任两个相邻数码之差至少是2，则这样的五位数有多少个？如果你没有思路，就可以在纸上画画，数一下。数学加编辑只能提示到这里了！

分析与解答

答案：这样的五位数有14个。

法一：特殊位置枚举法

先把最中间的数（即百位）固定下来。

百位为1，两侧的数字组合可以是2、4和3、5，2不可以与1相邻，3和5都可以与1相邻，故有4种不同的组合；

百位为2，两侧的数字组合可以是1、4和3、5，1和3都不可与2相邻，故有2种不同组合；

百位为3，两侧的数字组合可以是1、4和2、5，2和4都不可与3相邻，故有2种不同组合；

百位为4，分析同百位为2时，2种不同组合；

百位为5，分析同百位为1时，4种不同组合。

所以一共有4＋2＋2＋2＋4=14种不同组合。

法二：特殊数字枚举法

考虑3的左右只能是1和5，那么固定3的位置。

3在百位，1和5固定在3左右，那么2和4也唯一固定，有2种组合；

3在千位，无论1或5在百位，2和4也唯一固定，有2种组合；

3在万位，千位要么是1，要么是5，可以是31425、31524、35241、35142，有4种组合；

考虑镜像，3在十位同千位，有2种组合，3在个位同万位，有4种组合。一共14种。

法三：圆环法

将1-5五个数字写在一个圆环上，要满足题目要求，那么圆环上数字满足两种情况：

a）任意相邻两数差至少是2；

b）只有一对相邻数字差是1。

满足a只有一种可能：1  3  5  2  4，考虑开头数字和顺逆时针，共10种；

满足b的有两种：2  3  5  1  4和3  4  2  5  1，考虑顺逆时针，共4种。

一共14种。