【每日一题】几何证明

设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC， 求证：3≤L＜2． 

证明：

（1）将△BPC绕B点顺时针旋转60°的△BEF，连接PE， ∵BP=BE，∠PBE=60°

 ∴△PBE是正三角形。 

∴PE=PB 又EF=PC ∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF 

当PA、PE、EF在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF的值最小（如图） 在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=3 ∴L=PA+PB+PC≤3 

（2）过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G 则△ADG是正三角形 

∴∠ADP=∠AGP，AG=DG ∵∠APD＞∠AGP ∴∠APD＞∠ADP 

∴AD＞PA…………………………① 

又BD+PD＞PB……………………②   

CG+PG＞PC……………………③ 

①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC ∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L ∵AB=AC=1∴L＜2 

由（1）（2）可知：3≤L＜2．

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数学

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