“将军饮马”变式题的思维突破
在线段和最值类问题中,将军饮马问题是最基本的解题模型,其本质仍然是利用轴对称,将线段和转化成线段最值,即利用两点之间线段最短来解决。而在实际解题中,并非所有题目都明确给出以充足的条件,而是有所隐藏,所以根据题目条件,深度挖掘背后的解题模型,思维才有可能突破。
题目
如图,矩形ABCD中,点F是边CD上的动点(不与C,D重合),连接BF.
(1)如图1,过点C作CE⊥BF于点G,交AD于点E,连接AG.
①求证:CE:BF=CD:BC;
②若G为CE的中点,求证:sin∠AGB=CE:BF
(2)如图2,将矩形ABCD沿MN折叠,使点B与点F重合,点A落在点A'处,MN与BF相交于点P,取A'F中点Q,连接PQ,若AB=2,BC=3,直接写出PF+PQ的最小值.
解析:
(1)本小题的两个结论其实是一脉相承,CE⊥BF这个条件给人无数遐想,矩形中存在这么一对互相垂直的线段,可构造出很多对相似三角形,而结论也需要证明成比例线段,思路很容易会朝这个方向走,这就对了。
①从比例线段中寻找相似三角形的方法很多,这里提供一种,看字母,比例前项含三个字母C、D、E,比例后项含三个字母B、C、F,于是观察图中△CDE和△BCF,可证它们相似,于是CE:BF=CD:BC;
②新增条件G是CE的中点,而G又是垂足,可联想的条件很多,在△CDE中,点G是斜边上的中点,可连接DG构造斜边上的中线,垂足和中点身份二合一,又可联想到线段CE的垂直平分线。
结论中求sin∠AGB,而∠AGB又不在直角三角形中,所以接下来的两条路可走,一是转化∠AGB至某个直角三角形中,二是构造一个含∠AGB的直角三角形。
方法一,转化∠AGB
利用前面的分析,连接DG和BE,如下图:
此时DG是Rt△CDE斜边上的中线,因此DG=CG,得到∠CDG=∠DCG,所以∠ADG=∠BCG,再加上AD=BC,可证△ADG≌△BCG(SAS),所以∠DAG=∠CBG;
而前面分析过,BF是CE的垂直平分线,于是BC=BE,利用三线合一可证明∠CBG=∠EBG,所以得到∠DAG=∠EBG,请注意A,B,G,E四个点构成的“8字型”三角形,所以∠AGB
=∠AEB,成功转化到Rt△ABE中,再来求正弦值,sin∠AGB=sin∠AEB=AB:BE,而AB=CD,BE=BC,所以sin∠AGB=CD:BC,前一个结论中我们证明过CE:BF=CD:BC,因此sin∠AGB=CE:BF;
顺便说一下,我们也可以证明A,B,G,E四点共圆,从而直接得到∠AGB=∠AEB,但这个被列入负面清单的方法能否被使用,还有疑问.
方法二,构造直角三角形
以∠AGB为一个锐角,需要作垂线,不妨过点A作AH⊥BG于H,连接DG,如下图:
由方法一可知△ADG≌△CBG,目的是得到AG=BG,观察△ABH和△BCG,我们很容易证明△ABH∽△BCG,于是可得比例线段AB:BC=AH:BG,将右边的BG替换成AG,就得到AB:BC=AH:AG,请注意等号右边,在Rt△AGH中,sin∠AGB=AH:AG,所以我们得到sin∠AGB=AB:BC,最后再利用矩形对边相等来转换,同方法一,结果仍为sin∠AGB=CE:BF;
过点B向AG作垂线,效果是完全一样的,有兴趣可以试一下.
(2)将矩形折叠,意味着轴对称,注意到点Q是A'F中点,而点P同样也是BF中点,两个中点能联想到什么呢?
对!中位线,所以由此突破,连接A'B,连接之后A'B=2PQ,BF=2PF,PF+PQ的最小值,其实也就是A'B+BF的最小值,而由对称性,A'B=AF,问题转化成求AF+BF的最小值,此时需要一点想像,F是动点,所在直线CD就是那条河,A,B是两个定点……
不废话了,作图如下:
剩下的过程可以“秒”了,作点B关于CD的对称点B',连接AB',与CD相交于点F,此时点F就是我们需要定位的点,它一定是CD的中点,可求得AB'=2√10,因此PF+PQ最小值是它的一半,为√10.
解题反思
这道题最终的将军饮马模型隐藏得较深,经历了中位线的“放大”和折叠(相当于一次轴对称),才显现出来,在解题过程中,依然采用顺藤摸瓜的路子,从条件出发,沿常规思路一步步走出来,巧妙利用等量转换,从而挖出模型。
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