“将军饮马”变式题的思维突破

在线段和最值类问题中，将军饮马问题是最基本的解题模型，其本质仍然是利用轴对称，将线段和转化成线段最值，即利用两点之间线段最短来解决。而在实际解题中，并非所有题目都明确给出以充足的条件，而是有所隐藏，所以根据题目条件，深度挖掘背后的解题模型，思维才有可能突破。

题目

如图，矩形ABCD中，点F是边CD上的动点(不与C，D重合)，连接BF.

(1)如图1，过点C作CE⊥BF于点G，交AD于点E，连接AG.

①求证：CE:BF=CD:BC；

②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB=CE:BF

(2)如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，使点B与点F重合，点A落在点A'处，MN与BF相交于点P，取A'F中点Q，连接PQ，若AB=2，BC=3，直接写出PF+PQ的最小值.

解析：

(1)本小题的两个结论其实是一脉相承，CE⊥BF这个条件给人无数遐想，矩形中存在这么一对互相垂直的线段，可构造出很多对相似三角形，而结论也需要证明成比例线段，思路很容易会朝这个方向走，这就对了。

①从比例线段中寻找相似三角形的方法很多，这里提供一种，看字母，比例前项含三个字母C、D、E，比例后项含三个字母B、C、F，于是观察图中△CDE和△BCF，可证它们相似，于是CE:BF=CD:BC；

②新增条件G是CE的中点，而G又是垂足，可联想的条件很多，在△CDE中，点G是斜边上的中点，可连接DG构造斜边上的中线，垂足和中点身份二合一，又可联想到线段CE的垂直平分线。

结论中求sin∠AGB，而∠AGB又不在直角三角形中，所以接下来的两条路可走，一是转化∠AGB至某个直角三角形中，二是构造一个含∠AGB的直角三角形。

方法一，转化∠AGB

利用前面的分析，连接DG和BE，如下图：

此时DG是Rt△CDE斜边上的中线，因此DG=CG，得到∠CDG=∠DCG，所以∠ADG=∠BCG，再加上AD=BC，可证△ADG≌△BCG(SAS)，所以∠DAG=∠CBG；

而前面分析过，BF是CE的垂直平分线，于是BC=BE，利用三线合一可证明∠CBG=∠EBG，所以得到∠DAG=∠EBG，请注意A，B，G，E四个点构成的“8字型”三角形，所以∠AGB

=∠AEB，成功转化到Rt△ABE中，再来求正弦值，sin∠AGB=sin∠AEB=AB:BE，而AB=CD，BE=BC，所以sin∠AGB=CD:BC，前一个结论中我们证明过CE:BF=CD:BC，因此sin∠AGB=CE:BF；

顺便说一下，我们也可以证明A，B，G，E四点共圆，从而直接得到∠AGB=∠AEB，但这个被列入负面清单的方法能否被使用，还有疑问.

方法二，构造直角三角形

以∠AGB为一个锐角，需要作垂线，不妨过点A作AH⊥BG于H，连接DG，如下图：

由方法一可知△ADG≌△CBG，目的是得到AG=BG，观察△ABH和△BCG，我们很容易证明△ABH∽△BCG，于是可得比例线段AB:BC=AH:BG，将右边的BG替换成AG，就得到AB:BC=AH:AG，请注意等号右边，在Rt△AGH中，sin∠AGB=AH:AG，所以我们得到sin∠AGB=AB:BC，最后再利用矩形对边相等来转换，同方法一，结果仍为sin∠AGB=CE:BF；

过点B向AG作垂线，效果是完全一样的，有兴趣可以试一下.

(2)将矩形折叠，意味着轴对称，注意到点Q是A'F中点，而点P同样也是BF中点，两个中点能联想到什么呢？

对！中位线，所以由此突破，连接A'B，连接之后A'B=2PQ，BF=2PF，PF+PQ的最小值，其实也就是A'B+BF的最小值，而由对称性，A'B=AF，问题转化成求AF+BF的最小值，此时需要一点想像，F是动点，所在直线CD就是那条河，A，B是两个定点……

不废话了，作图如下：

剩下的过程可以“秒”了，作点B关于CD的对称点B'，连接AB'，与CD相交于点F，此时点F就是我们需要定位的点，它一定是CD的中点，可求得AB'=2√10，因此PF+PQ最小值是它的一半，为√10.

解题反思

这道题最终的将军饮马模型隐藏得较深，经历了中位线的“放大”和折叠(相当于一次轴对称)，才显现出来，在解题过程中，依然采用顺藤摸瓜的路子，从条件出发，沿常规思路一步步走出来，巧妙利用等量转换，从而挖出模型。