《四元玉鑑》“句股測望”﹝三﹞之重矩測深法

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：本文取材自《四元玉鑑》之“句股測望”門，乃指涉及直角三角形之測量問題，與純粹之句股題有差別。部分問題取材自晉‧劉徽之《海島算經》。本文第三問有累贅方程式，可省其一。

關鍵詞：海島算經、偃矩、重矩

句股測望（八問）

本文取材自朱世傑《四元玉鑑》之“句股測望”門，此門共八問。所謂“句股測望”乃指涉及直角三角形之測量問題，與純粹之句股題有差別。

“句”同“勾”，“句”指直角三角形較短之直角邊，“股”乃指較長之直角邊。一直角三角尺形之工具稱為“矩”，古人以矩作測高、測深及測距離之用。注意“重矩”之應用。

“句股測望”之計算法主要以相似三角形為主，因相似三角形對應邊成比例，故可算出相關之未知數。

《四元玉鑑》“句股測望”之問部分取材自晉‧劉徽《海島算經》。以下為“句股測望”門其中三問。本文第二問附《海島算經》之同類問題。

本文第三問有累贅之方程式，可省其一。

本文目的為探索古代數學題之運算法及與現代數學之異同。

(1)

今有方城，不知大小。立兩表東西相去四十三步二分，齊人目以索連之。令東表與城東南隅及東北隅參相直，於東表退行一十四步八分，遙望城西北隅入索東端一十步。又卻北行去表六十四步八分，遙望城西北隅適與西表末相參合。問：城方去表、去城各幾何？

答曰：城方六里三百四十步，去表一十里八十五步五分步之一。

術曰：立天元一為城方，如積求之得五千為正實，二為益方，上實下法而一，得城方。求表去城者，入索乘北行去表，以兩表相去除之，得為景差。內減東去表，餘以為法。又北行去表內減景差，餘乘東表退行為實。實如法而一，即表去城之遠，合問。

解：

注意 1 里為360 步。“四十三步二分”可表達為 43.2 步，其餘類推。以下為雙表南望方城圖：

ABCD 乃方城。在方城之北 E、F乃西東兩表，有繩索EF連之。EF距方城 AD  y 步，AD 為方城之一邊為 x 步，人自F 點後退至G，FG 長 14.8 步，自 G 點望A，視線GA 交EF 於 H，FH 長 10 步。

又人自F 點後退至K，FK 長 64.8 步，自 K 點望A，視線KEA 成直線。求 x 與 y。

從上圖可知，ΔGAD 與ΔGHF 相似，相似 Δ 對應邊成比例，所以

 

 =

，即：

 

 =

=

 --------------------------------(1)

又從上圖可知，ΔKAD 與ΔKEF 相似，所以

 =

，即：

 

 =

=

 --------------------------------(2)

從 (1) 可得  y =

x –14.8

從 (2) 可得  y =

x –64.8

上兩式右方相等即

x – 14.8 =

x – 64.8

1.48x + 50.0= 1.5x

– 0 .02x +50.0 = 0

– 2x + 5000 =0 ------------------------------------------------- (3)

2x = 5000

x = 2500。

(3) 式即《四元玉鑑》所云：

得五千為正實，二為益方，上實下法而一，得城方。

“上實下法”指

，即以 5000 為被除數，是為“實”；以 2 為除數，是為“法”，得方城之一邊長 2500 尺，即 6 里 340 步﹝1 里為 360 步﹞。

求表距離方城，從 (1) 可知 y =

x – 14.8

=

× 2500 – 14.8

= 3700 – 14.8

= 3685.2。

若 x 為未知數，則 y 之算法如下：

從 (1) 可得 y + 14.8 =

x，x =

(y +14.8)

從 (2) 可得 y + 64.8 =

x，x =

( y +64.8)

上兩式右方相等即

(y + 14.8) =

( y + 64.8)

648(y + 14.8)= 639.36( y + 64.8)

648y + 9590.4= 639.36y + 41430.528

8.64y =31840.128

y = 3685.2。

《四元玉鑑》不作此算法，以下為其算法：

求表去城者，入索乘北行去表，即10 × 64.8 = 648。

以兩表相去除之，得為“景差”。故景差 =

 = 15。

內減東去表，餘以為法。即15 – 14.8 = 0.2，

又北行去表內減景差，即64.8 – 15 = 49.8，

餘乘東表退行為實。即49.8 × 14.8 = 737.04，

實如法而一，即

= 3685.2。

即表去城之遠，化 3685.2步為複名數，即 18 里 85

步。

若 FK = e，FG =a，EF = b，HF =d，其代數式表示如下：

=

 ---------------------------------------(4)

=

 ----------------------------------------(5)

從 (4) 可得  y =

 – a=

  

從 (5) 可得  y =

– e =

上兩式右方相等即

 =

abx – adb = dex – deb

x(ab – de) = adb – deb

x =

=

。

y =

 – a

=

(

) – a

=

 – a

=

=

=

。

代入數字可知答案正確。

(2)

今有營居山頂，巖底有泉，欲汲而不知其深。偃矩山上，令句高四尺，從句端望泉，入下股六尺。又設重矩於上，其矩間相去一丈六尺，更從句端望泉，入上股五尺六寸。問：巖深幾何？

答曰：巖深二十二丈。

術曰：立天元一為巖深，如積求之得二十二尺為益實，一寸為從方，上實下法而一即巖深，合問。

解：

有人於山上營一居所，巖底有泉，欲汲泉水但不知其深。“汲”之本義為從井取水，今泛指從下往上取水曰“汲”。

“偃”，倒放曰“偃”，“偃矩”，倒放之矩。習慣上，矩之句置於橫，股置於直，今相反﹝見下圖﹞，故曰“偃”。一矩在另一矩之上，是為“重矩”。

今以重偃矩法測量巖深，以下為重矩測巖深圖：

今設巖深為 x 尺，其下之泉寬為 y 尺。

從上圖可知ΔAHF 與ΔKED 同為“偃矩”，是為“重矩”，兩矩大小相同，AH 與 KE 皆為句為縱，HF 與 ED 同為股為橫，ED 為下股，HF為上股，HG 及 ED 為入股之長。人從 A 及 K 點望 B，得上及下之入股長數，而A、K皆為句端，即觀測點。

從兩個觀測點觀測B 點，即可得二入股之長，以二入股之長及句長，即可算出 EC 及 BC。

從上圖可知，ΔAHG 與ΔACB 相似，相似 Δ 對應邊成比例，所以

 

 =

，即：

 

 =

=

=

 --------------------------------(1)

又ΔKED 與ΔKCB 相似，所以

 =

，即：

 =

 ------ (2)

從 (1) 可得 4y =5.6(20 + x)

從 (2) 可得 4y =6(4 + x)

上兩式右方相等即 5.6(20+ x) = 6(4 + x)

112 + 5.6x =24 + 6x

88 = 0.4x

22 = 0.1x-----------------------------------------------------------------------------(3)

x = 220。

(3) 式移項得：

0.1x – 22 = 0

上式即《四元玉鑑》所云：

得二十二尺為益實，一寸為從方，上實下法而一即巖深。

“益”一作“正”，誤。以“益”為負，以“從”為正。“上實下法”指

，即以 22 為被除數，是為“實”；以 0.1為除數，是為“法”，得岩深220 尺，即 22 丈。注意 0.1尺即《四元玉鑑》所云之“一寸”。

注意本題亦可算出泉寬 y，因為：

重寫 (2) 式 4y = 6(4 + x)

2y = 3(4 + x)

2y = 3(4 +220)

2y = 3 × 224

y = 336。

即泉寬 33 丈 6 尺。

若 GH = e，AH =EK = a，DE = b，HE =d，其代數式可表示如下：

=

=

 --------------------------------(4)

=

 ----------------------------------------------------------(5)

從 (4) 可得 ay = e(a + d + x)

從 (5) 可得 ay = b(a + x)---------------------------------------- (6)

上兩式右方相等即 e(a + d + x) = b(a + x)

ea + ed + ex = ba + bx

bx – ex = ea + ed – ba

x =

。

求 y，以以上式代入 (5) 之 (6)式 得：

ay = b(a +

)

ay = b(

)

y =

。

代入數字可知答案正確。

本題與晉‧劉徽《海島算經》中一題相若。其問如下：

今有望深谷，偃矩岸上。令句高六尺，從句端望谷底，入下股九尺一寸。又設重矩於上，其矩間相去三丈。更從句端望谷底，入上股八尺五寸。問：谷深幾何？

答曰：四十一丈九尺。

術曰：置矩間以上股乗之為實，上下股相減，餘為法，除之所得，以句高減之，即得谷深。

　淳風等按：此術置矩間上股乗之為實，又置上下股尺寸相減餘六寸以為法，除實，得數退位一等，以句高減之，餘四十一丈九尺，即是谷深。

又一法：置矩間以下股乗之為實，置上下股尺數相減，餘六寸以為法，除之得四百五十五尺，以句高并矩間得三十六尺減之，餘退位一等，即是谷深也。

解：

本題情況與上題相同，只是更換數字。

以下為重矩測谷深圖：

設谷深 EC 為 x 尺，其下之谷寬為 y 尺。

從上圖可知，ΔAHG 與ΔACB 相似，所以

 =

，即：

 

 =

=

=

 --------------------------------(1)

又ΔKED 與ΔKCB 相似，所以

 =

，即：

 =

------ (2)

從 (1) 可得 6y = 8.5(36 + x)

從 (2) 可得 6y = 9.1(6+ x)

兩式右方相等即 8.5(36 + x) = 9.1(6 + x)-------------------------------------- (3)

306 + 8.5x = 54.6+ 9.1x

251.4 = 0.6x

x = 419 。

答：谷深 419 尺，即四十一丈九尺。

《海島算經》之術曰：

矩間以上股乗之為實，即 8.5 × 30 = 255，

上下股相減，即 9.1– 8.5 = 0.6，

除實，即255÷ 0.6 = 425，

以句高減之，即425– 6 = 419。

以上之算法可從 (3) 式開始，將 (3) 式變形：

8.5(30 + 6 + x)= 9.1(6 + x)

255 + 51 + 8.5x= 54.6 + 9.1x

255 + 51 = 54.6 +0.6x

425 + 85 = 91 + x

425 = 6 + x

x = 425 – 6 = 419。

李淳風另法：

置矩間以下股乗之為實，即 9.1× 30 = 273，

置上下股尺數相減，餘六寸，即9.1 – 8.5 = 0.6，

以為法，除之得四百五十五尺，即

= 455，“法”即除數。

以句高并矩間得三十六尺減之，即455– (30 + 6) = 455 – 36 = 419。

餘退位一等，即是谷深也。即化尺為丈，即 41 丈 9尺。

以下為清‧李潢撰《海島算經細草圖說》有關本題之部分原文：

(3)

今有登山臨邑，不知門高。偃矩山上，令句高三尺。斜望門額入下股四尺八寸，復望門閫入下股二尺八寸八分。又復立重矩於上，其間相去五尺。更從句端斜望門額，入上股三尺六寸，又望門閫，入上股二尺四寸。問：高幾何？

答曰：門高一丈。

術曰：立天元一為門高，如積求之得五十寸為正實，五分為益方，開無隅平方而一得門高，合問。

解：

有人登山，下臨一城邑，以“重矩”法測其城門之高，如下圖所示。今設城門高 AD 為 x 尺，山高為 EC，E 為山頂，EB 為 z 尺，而 EC= EB + BC = z+ x 尺，門距離山之中線 EC 為 y 尺。 ΔHGP 與 ΔFEQ同為“偃矩”，前者在上，後者在下，是為“重矩”。可參閱和比較上題之“重矩”。

門額，門楣也，即城門之最高點A。門閫，門檻、門限也，可視作門之最低點 D。人從 H及 F 點觀測城門之額及閫，上矩視線分別為 HA、HD，下矩視線分別為 FA、FD，上矩視線交上股 PG 於 M 及 N，而 MG= 3.6 尺， NG = 2.4 尺。下矩視線交下股 QE 於 K 及 L，而 KE= 4.8 尺， LE = 2.88 尺。求城門之高 AD。

以下為山上重矩測城高圖：

從上圖可知，ΔHGN 與ΔHCD 相似，相似 Δ 對應邊成比例，所以

 

 =

，即：

 

 =

=

=

 ---------- (1)

ΔHGM 與ΔHBA相似，所以

 

 =

，即：

 =

 =

 -----------------(2)

ΔFEK 與ΔFBA相似，所以

 

 =

，即：

 =

 =

 -----------------(3)

ΔFEL 與ΔFCD相似，所以

 

 =

，即：

 =

 =

 ----- (4)

從 (2) 可知

 =

，y = 1.2(8 + z) ------------------------ (5)

從 (3) 可知

 =

，y = 1.6(3 + z) ------------------------ (6)

(5)、(6) 式右方相等，即：1.2(8 + z)= 1.6(3 + z)

0.3(8 + z) = 0.4(3 + z)

3(8 + z) = 4(3 + z)

24 + 3z = 12 + 4z

12 = z。

代 z = 12 入 (5) 得 y = 1.2(8 + z) = 1.2(8 + 12) =1.2 × 20 = 24。

從 (1) 可知

=

=

24 =0.8(20 + x)

24 =16 + 0.8x

8 =0.8x

x = 10。

答：城高 10 尺，即一丈。

從以上之算法可知，不必用式(4)。今驗算 (4) 式是否正確：

左方

 =

=

 =

，

右方

=

=

。左右方相等，即 (4) 式成立。

若 (4) 式不成立，本題則視作矛盾方程而無解。

本題其實只須三次觀測即可。

附帶一提，城門距山之中線為 24 尺，山高為 (x + z) 尺 ，即 (10 + 12) 尺，即 22 尺。

若 GH = FE = e，MG =a，NG = b，GE =d，KE = f，其代數式表示如下：

 =

-----------------------------------(7)

=

-----------------------------------------(8)

 =

 ------------------------------------------(9)

從 (8) 可知 ey = a(e +d + z) ----------------------(10)

從 (9) 可知 ey = f(e + z) --------------------------- (11)

(10) 與(11) 式右方相等，即：a(e +d + z) = f(e + z)

ae +ad + az = fe + fz

fz – az = ae +ad – fe

z =

。

求 y 將上式代入 (11) 式得：

ey = f(e +

)

y =

(

)

=

(

)

=

。

求 x，將 y 與 z 之值代入 (7) 式得：

b(e + d + z + x) = ey

b(e + d +

 + x) =

b[ef – ea + df – da + ae +ad –fe + x(f – a)] = fad

b[df + x(f – a)] = fad

bdf + xb(f – a) = fad

xb(f – a) = fad – bdf

x =

。

代入數字可知答案正確。