《測圓海鏡》勾股形天山金﹝4﹞之恆等式說

上傳書齋名：瀟湘館112  Xiāo XiāngGuǎn 112

何世強 Ho Sai Keung

提要：《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，其書之“圓城圖式”含十四勾股形，連同原有之大勾股形共十五勾股形。此等勾股形三邊形成一系列之恆等式，本文主要談及第4勾股形天山金相關之等式。

關鍵詞：黃廣弦、黃廣勾、黃廣勾、天山金

《測圓海鏡》乃金‧李冶所撰，書成於 1248 年，時為南宋淳祐八年。該書卷一“圓城圖式”之〈識別雜記〉主要討論與十五勾股形相關之等式，本文介紹其部分等式並作出証明。

本文所引用之勾股式源自“圓城圖式”之十五勾股形，a₁、b₁、c₁ 乃最大勾股形天地乾之勾、股及弦長。故 a₁、b₁、c₁ 又稱為大勾﹝地乾﹞、大股﹝天乾﹞及大弦﹝天地﹞，或稱之為通勾、通股、通弦。

《測圓海鏡》之〈諸雜名目〉篇涉及一系列之勾股恆等式，所有恆等式皆與十五勾股形有關。十五勾股形中最大者為天地乾，其三邊勾股弦分別以a₁、b₁、c₁ 表之，其餘十四勾股形三邊勾股弦則分別以 a_i、b_i、c_i 表之，其中 1 < i ≦ 15。但 a_i、b_i、c_i 均可以 a₁、b₁、c₁ 表之，此乃《測圓海鏡》之精髓。

有關以 a₁、b₁、c₁ 表 a_i、b_i、c_i 之式可參閱筆者另文〈《測圓海鏡》“圓城圖式”之十二勾股弦算法〉。

以下左為“圓城圖式”右為“圓城圖式十五句股形圖”。

本文談及之勾股形乃天山金，又稱為“黃廣”，亦即以下兩圖帶黃色之二勾股形，天山金之斜邊“天山”是為黃廣弦，即 c₄；其直角為 4，以 4 之位置為 “金”，其勾與股分別為  a₄﹝山金﹞與 b₄﹝天金﹞。

以下為“天山金”勾股形之三事﹝三事，三邊之長也﹞：

注意其勾長 a₄ 之 a₁ + b₁ – c₁ 是為內容圓徑﹝即東南西北之圓﹞。

金山勾 ﹝又稱黃廣勾﹞：a₄ =

(a₁ + b₁ – c₁) × 2 = a₁ + b₁ – c₁。

天金股﹝又稱黃廣股﹞：b₄ =

=

(a₁ + b₁ – c₁) 。

天山黃廣弦﹝簡稱黃廣弦﹞：c₄ = √(a₄²+ b₄²) =

(a₁ + b₁ – c₁) 。

以下與黃廣弦﹝勾股形天山金﹞4 有關之等式：

黃廣弦上勾股和為大股虛股共。

黃廣弦上勾股和=a₄ + b₄

= (a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 +

)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁)

=

(a₁² + b₁²+ 2a₁b₁ – c₁a₁ – c₁b₁)

=

(c₁² + 2a₁b₁ – c₁a₁ – c₁b₁) 。

已知大股 = b₁，虛股 = b₁₃ =

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

大股虛股共= b₁ + b₁₃ = b₁ +

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)

= b₁ +

(c₁² – c₁a₁ – b₁c₁ + a₁b₁)

=

(c₁² – c₁a₁ – b₁c₁ + a₁b₁ + a₁b₁)

=

(c₁² – c₁a₁ – b₁c₁ + 2a₁b₁) 。

所以黃廣弦上勾股和 = 大股 + 虛股。

又為通勾通股共內少個小差上勾股和。

已知通勾、通股共 = a₁ + b₁，

已知小差勾 = a₁₁ = c₁ – b₁ 及 小差股 = b₁₁=

 =

(c₁ – b₁) 。

小差上勾股和 = (c₁ – b₁) +

(c₁ – b₁) = (c₁ – b₁)(1 +

)。

通勾通股共內少個小差上勾股和

= (a₁ + b₁) – (c₁ – b₁)(1 +

)

= (a₁ + b₁) –

(c₁ – b₁)(a₁ + b₁)

= (a₁ + b₁)[1 –

(c₁ – b₁)]

=

(a₁ + b₁)(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁² + b₁²+ 2a₁b₁ – a₁c₁ – b₁c₁)

=

(c₁² + 2a₁b₁ – a₁c₁– b₁c₁)。

以上答案亦為黃廣弦上勾股和。

其較則兩个髙差也。

“其較”指黃廣弦上勾股較。

黃廣弦上勾股較 = b₄ – a₄

=

(a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(

 –1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ – a₁)

=

(b₁² – a₁² –c₁b₁ + c₁a₁)。

已知髙勾：a₆ =

(a₁ + b₁ – c₁)。

髙股：b₆ =

=

( a₁ +b₁ – c₁) 。

“髙差”指以上之差，即 b₆ – a₆。

兩個髙差= 2 × (b₆ – a₆)

= 2 × [

( a₁ +b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)]

=

( a₁ +b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

=

[b₁( a₁ + b₁ – c₁) – a₁(a₁ + b₁ – c₁)]

=

(b₁a₁ + b₁² –b₁c₁ – a₁² –a₁b₁ + a₁c₁)

=

(b₁² – b₁c₁ – a₁² + a₁c₁)。

所以黃廣弦上勾股較 = 兩個髙差。

勾弦和為二髙弦一圓徑共。

黃廣弦上勾弦和= a₄ + c₄ = (a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(1 +

)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

=

[b₁ –(c₁ – a₁)](c₁ + a₁)

=

(b₁c₁ + b₁a₁ – c₁² + a₁² )

=

(b₁c₁ + b₁a₁ – b₁²)

=

(c₁ + a₁ – b₁)。

二髙弦一圓徑共。

已知髙弦：c₆ =

(a₁ + b₁ – c₁) ，又知圓徑= a₁ + b₁ – c₁，

二髙弦一圓徑共=2 ×

(a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(

 + 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + a₁)

=

[b₁ –(c₁ – a₁ )](c₁ + a₁)

=

(b₁c₁ + b₁a₁ – c₁²+ a₁²)

=

(b₁c₁ + b₁a₁ – b₁²)

=

(c₁ + a₁ – b₁)。

所以黃廣弦上勾弦和 = 二髙弦一圓徑共。

其較則二明股也。

黃廣弦上勾弦較 = c₄ – a₄

=

(a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

= (a₁ + b₁ – c₁)(

– 1)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – a₁)。

已知明股 = b₁₄ =

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

二明股 = 2 ×

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

=

(c₁ – a₁)(b₁ – c₁ + a₁)。

所以黃廣弦上勾弦較 = 二明股。

股弦和為通弦上弦較和。

黃廣弦上股弦和= b₄ + c₄ =

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(b₁ + c₁)

=

[a₁ – (c₁ – b₁)](c₁ + b₁)

=

(a₁b₁ + a₁c₁ + b₁² –c₁²)

=

(a₁b₁ + a₁c₁ – a₁²)

= c₁ + b₁ – a₁。

通弦上弦較和 = c₁ + (b₁ – a₁) = c₁ + b₁ – a₁。

所以黃廣弦上股弦和 = 通弦上弦較和。

其較則二

股也。

黃廣弦上股弦較 = c₄ – b₄=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁)

=

[a₁ – (c₁ – b₁)](c₁ – b₁)

=

(a₁c₁ – a₁b₁– c₁² – b₁²+ 2c₁b₁)。

已知

股 = b₁₅ =

=

(a₁c₁ – a₁² –b₁a₁ –2b₁² + 2b₁c₁)。

二

股 = 2 ×

(a₁c₁ – a₁² –b₁a₁ –2b₁² + 2b₁c₁)

=

(a₁c₁ – a₁² –b₁a₁ –2b₁² + 2b₁c₁)

=

(a₁c₁ – a₁b₁– c₁² – b₁²+ 2c₁b₁)。

所以黃廣弦上股弦較 = 二

股。

弦較和即兩個大差股也。

黃廣弦上弦較和=c₄ + (b₄ – a₄) = c₄ + b₄ – a₄。

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) – (a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ – a₁)

=

[b₁ – (c₁ – a₁)](b₁ + c₁ – a₁)

=

[b₁² – (c₁ – a₁)²]

=

[b₁² – c₁² – a₁² + 2c₁a₁]

=

[ – 2a₁² + 2c₁a₁]

= 2(c₁ – a₁)

= 兩個大差股。

因為天坤股﹝又稱大差股﹞為 b₁₀，

而 b₁₀ = b₁ – (a₁ + b₁ – c₁) = b₁ – a₁ – b₁ + c₁ = c₁ – a₁。

黃廣弦上弦較和= 兩個大差股。2(c₁ – a₁) 亦為兩個通弦上勾弦較。

其較即兩個小差股也。

“其較”指黃廣弦上弦較較。

黃廣弦上弦較較 = c₄ –(b₄ – a₄) = c₄ – b₄ + a₄

=

(a₁ + b₁ – c₁) –

(a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ – b₁ + a₁)

=

[a₁ –(c₁ – b₁)](a₁ + c₁ – b₁)

=

[a₁² –(c₁ – b₁)²]

=

[a₁² –c₁² – b₁² + 2c₁b₁]

=

[ – 2b₁² + 2c₁b₁]

=

(c₁ – b₁) 。

已知小差股 = b₁₁ =

 =

(c₁ – b₁) 。

所以黃廣弦上弦較較 = 2× 小差股﹝即兩個小差股﹞。

　三事和兩大股也。

黃廣弦上三事和即弦和和 =c₄ + b₄ + a₄。

c₄ + b₄ + a₄

=

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)(a₁ + b₁ + c₁)

=

[(a₁ + b₁)² – c₁²]

=

(a₁² + b₁² +2a₁b₁ – c₁²)

=

× 2a₁b₁

= 2b₁ ﹝兩大股﹞。

所以黃廣弦上三事和 = 兩大股﹝兩通股﹞。

其較則兩虛股也。

黃廣弦上三事較即弦和較 = a₄ + b₄ – c₄。

a₄ + b₄ – c₄

= –

(a₁ + b₁ – c₁) +

(a₁ + b₁ – c₁) + (a₁ + b₁ – c₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)( – c₁ + b₁ + a₁)

=

(a₁ + b₁ – c₁)²

=

(a₁² + b₁²+ c₁² + 2a₁b₁ –2c₁a₁ – 2b₁c₁)

=

(2c₁² + 2a₁b₁ – 2c₁a₁ –2b₁c₁)

=

(c₁² + a₁b₁ – c₁a₁ – b₁c₁)

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

因為虛股﹝太虛股﹞= b₁₃ =

=

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

兩虛股= 2 ×

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁) =

(c₁ – b₁)(c₁ – a₁)。

所以黃廣弦上三事較 = 兩虛股。

以下為《測圓海鏡細草》原文：