函数性质的证法归纳(一)

1、增函数y=(1+1/x)^x（x＞0）的证法归纳：

（1）y′/y=ln(1+1/x)-1/(1+x)＞0？（x＞0）

（2）代数法【副产品：减函数y=(1+1/x)^1+x（x＞0）】。

（3）级数法【利用对数函数y=-ln(1-x)的幂级数证之】。

（4）导数分析法：（万能法）

ln(1+x)-x/(1+x)＞0.（x＞0）（倒变代换）

取导后不等式仍成立。积分区间[0，x]。

2、凹函数y=(1+1/x)^x（x＞0）的证法归纳：

（1）y′′/y=[ln(1+1/x)-1/(1+x)]²-1/[x(1+x)²]＜0？（x＞0）

（2）ln(1+1/x)＜(1+1/√x)/(1+x)（x＞0）.

（3）级数法：参见《级数证明法的应用（三）》。

（4）ln(1+x)＜x(1+√x)/(1+x)（x＞0）.（倒变代换）

（5）导数分析法：取导后，不等式仍然成立。积分区间 (0，x]。

（6）中间函数法：李氏不等式——

（1）当0＜x＜1时，

         ln(1+x)＜x＜x(1+√x)/(1+x)＜√x.

（2）当x＞1时，

         ln(1+x)＜√x＜x(1+√x)/(1+x)＜x.