黎曼ζ(z)函数的解析开拓级数式

一、ζ(z)的原始定义级数式：

ReZ＞1：

               ζ(z)=∑(n=1…∞)n^-z.

 

 

二、ζ(z)的函数方程：

       ζ(z)=2^zπ^z-1sin(πz/2)Γ(1-z)ζ(1-z)

 

 

三、ζ(z)的解析开拓级数式：

（1）ReZ＞-1：

      ζ(z)=lim(N→∞)[∑(n=1…N)n^-z-A0(N,z)]

              其中，A0(N,z)=(N+1/2)^1-z/(1-z)

           （由此导函数，可证明“斯特林公式”：(n→∞)n!eⁿ/n^n+1/2=√(2π)）

 

（2）ReZ＞-3：

      ζ(z)=lim(N→∞)[∑(n=1…N)n^-z-A0(N,z)-A2(N,z)]

              其中，A2(N,z)=(z/24)(N+1/2)^-1-z

 

（3）ReZ＞-5：

      ζ(z)=lim(N→∞)[∑(n=1…N)n^-z-A0(N,z)-A2(N,z)-A4(N,z)]

              其中，A4(N,z)=(-7/5760)z(z+1)(z+2)(N+1/2)^-3-z

 

（4）ReZ＞-2k-1：

ζ(z)=lim(N→∞)[∑(n=1…N)n^-z-A0(N,z)-A2(N,z)-A4(N,z)-···-A2k(N,z)]

              其中，A2k(N,z)=(A2k)z(z+1)(z+2)···(z+2k-2)(N+1/2)^1-2k-z

 

（5）A2k的求法：

         令N=0，用ζ(-2k)=0求之，用ζ(-2k+1)的值验之。