η(z)级数定义推广的证明

（一）-1＜ReZ＜0：

（1）Γ(z)η(z)=∫(0,∞)t^z-1[1/(e^t+1)-1/2]dt

（2）Γ(z)n^-z=∫(0,∞)t^z-1(e^-nt-1)dt（n＞0）

（3）Γ(z)(N+1/2)^-z=∫(0,∞)t^z-1[e^-(N+1/2)t-1]dt

（4）由（2）得：

         Γ(z)Σ(n=1…N)(-1)^n-1n^-z=∫(0,∞)t^z-1{[1-(-1)^Ne^-Nt)/(e^t+1)-[1-(-1)^N]/2]dt

（5）由（4）+A0(-1)^N×（3）取极限(N→∞)并与（1）恒等得：（A0=1/2）

         η(z)=(N→∞)[Σ(n=1…N)(-1)^n-1n^-z-(1/2)(-1)^N(N+1/2)^-z]

（6）η(0)=1/2、   η(-1)=1/4

 

（二）-2＜ReZ＜-1： 方法同（一）

 

（三）-3＜ReZ＜-2：

（1）Γ(z)η(z)=∫(0,∞)t^z-1[1/(e^t+1)-1/2+(1/4)t]dt

（2）Γ(z)n^-z=∫(0,∞)t^z-1[e^-nt-1+nt-(1/2)(nt)²]dt（n＞0）

（3）Γ(z)(N+1/2)^-z=∫(0,∞)t^z-1[e^-(N+1/2)t-1+(N+1/2)t-(1/2)(N+1/2)²t²]dt

（4）Γ(z+2)(N+1/2)^-z=∫(0,∞)t^z-1[e^-(N+1/2)t-1]dt

（5）由（2）得：

         Γ(z)Σ(n=1…N)(-1)^n-1n^-z=

∫(0,∞)t^z-1{[1-(-1)^Ne^-Nt]/(e^t+1)-[1-(-1)^N]/2+(1/2)[1/2-(-1)^N(N+1/2)]-(1/4)[1/4-(N+1/2)²](-1)^Nt²}dt

（6）由（5）+(1/2)(-1)^N×（3）+A1(-1)^N×（4）取极限(N→∞)并与（1）恒等得：（A1=-1/16）

η(z)=(N→∞)[Σ(n=1…N)(-1)^n-1n^-z+(1/2)(-1)^N(N+1/2)^-z-(1/16)(N+1/2)z(z+1)(N+1/2)^-(z+2)]

（7）η(-2)=0、 η(-3)=-1/8

 

（四）-4＜ReZ＜-3： 方法同（三）

 

（五）……依此类推。