三角函数的无穷乘积与分式级数

（一）正弦函数的无穷乘积：

           sin(x)=xΠ(n=1…∞)[1-x²/n²π²]

（二）余切函数的分式级数：

       cot(x)=Σ(n=-∞…∞)[1/(x-nπ)]

               =1/x+Σ(n=1…∞)[(2x)/(x²-n²π²)]

（三）余弦函数的无穷乘积：

      cos(x)=Π(n=-∞…∞)[1-x/(n-1/2)π]

             =Π(n=1…∞)[1-4x²/(2n-1)²π²]

（四）正切函数的分式级数：

       tan(x)=Σ(n=-∞…∞)(-1)/[x-(n-1/2)π]

               =Σ(n=1…∞)[(-2x)/[x²-(n-1/2)²π²]

 

 

（五）正切函数的无穷乘积：

       tan(x)=xΠ(n=1…∞)[1-4x²/n²π²]^{(-1)^n}

（六）余割函数的分式级数：

      1/sin(x)=Σ(n=-∞…∞)[(-1)ⁿ/(x-nπ)]

 

（七）三角函数与普西函数：

      Σ(k=0…∞)[1/(k+a+z)-1/(k+1-a-z)]

      =ψ(1-a-z)-ψ(a+z) （零点对应的是弦函数）

      =πcot(πa+πz)     （也可以用弦函数求之）

      =π/sin(2πa+2πz)+πcot(2πa+2πz)