两正数的对数平均数

①  L(a，b)=(a-b)/(lna-lnb) ≤ (a+b)/2

证：令a/b=x ≥ 1，变形得：lnx ≥ 2(x-1)/(x+1)

设  f(x)=lnx-2(x-1)/(x+1)，f(1)=0

∵  f ′(x)=(1/x)[(x-1)/(x+1)]² ≥ 0，

∴   f(x) ≥ f(1)=0

即   lnx ≥ 2(x-1)/(x+1)

     (a-b)/(lna-lnb) ≤ (a+b)/2  得证

②L(a，b)=(a-b)/(lna-lnb) ≥ √(ab)

证：令√(a/b)=x ≥1，变形得：x-1/x ≥ 2lnx

设  f(x)=x-1/x-2lnx，f(1)=0

∵  f ′(x)=(1-1/x)² ≥ 0，

∴   f(x) ≥ f(1)=0

即   x-1/x ≥ 2lnx

     (a-b)/(lna-lnb) ≥ √(ab)  得证