代数方程的韦达定理与牛顿公式

一、韦达定理：
       一元n次方程：（a0≠0）
                   a0xⁿ＋a1x^n-1＋······＋an-1x＋an=0
n个根的k次组合多项式(从n个根中任选k个根组合相乘，再将所有的“组合积”相加，即得“组合多项式”)，用P(k)表示，k=1、2、···、n.
       韦达定理：P(k)=(-1)^kak/a0    [规定：P(0)=1]
 
二、牛顿公式：
       代数方程n个根的k次和，用Q(k)表示，k为整数。
       牛顿公式：
（1）k=1…n.  （a0≠0）
         a0Q(k)+a1Q(k-1)+······+ak-1Q(1)+kak=0
（2）k＞n.     （a0≠0）
         a0Q(k)+a1Q(k-1)+······+an-1 Q(k-n+1)+anQ(k-n)=0
（3）k=0.     （a0an≠0）
         Q(0)=n
（4）k=(-1)…(-n).  （an≠0）
         anQ(k)+an-1Q(k+1)+······+an+k+1Q(-1)=kan+k
（5）k＜(-n).     （an≠0）
         anQ(k)+an-1Q(k+1)+······+a1Q(n+k-1)+a0Q(n+k)=0

 

三、牛顿公式的证明：
（1）只需证明：当k=1～n时，
         Q(k)-P(1)×Q(k-1)+······+(-1)^k-1P(k-1)×Q(1)+k(-1)^kP(k)=0……………………①
（2）P(k)×Q(m)的展开式，由两种形式的对称多项式组成，分别用W(k-1，m+1)和W(k，m)表示，m、k为正整数.
               P(k)×Q(m)=W(k-1，m+1)+W(k，m)
（3）W(0，m)=Q(m)
         W(k，1)=(k+1)P(k+1)
（4）P(1)×Q(k-1)=W(0，k)+W(1，k-1)
         P(2)×Q(k-2)=W(1，k-1)+W(2，k-2)
         ············
         P(k-2)×Q(2)=W(k-3，3)+W(k-2，2)
         P(k-1)×Q(1)=W(k-2，2)+W(k-1,1)
代入①中即得证明成立。