“三元数”的不完美性

（一）三元数的定义：

（1）z=a+bi+cj

（2）a、b、c为实数

（3）i² =j² =-1、  i×j=0

（二）三元数的不完美性：

（1）模运算不是完全成立。例如，│i×j│≠│i│×│j│

（2）乘法结合律不是完全成立。例如，(i×j)×j ≠ i×(j×j)

（3）当纯虚数(实部为零)作除数时，其商有无穷多个或者不存在。

例如，(2i+j)/(i+j)不存在

（4）积的乘方公式不是完全成立。例如，(i×j)² ≠ i²×j² 

（5）负数开平方有无穷多个根。例如，z²=-1 

（6）代数基本定理不成立。

（7）指数运算存在矛盾，无法定义对数运算。

例如，cosθ+(icosφ+jsinφ)sinθ

          =e^{θ(icosφ+jsinφ)}

          ≠ e^θicosφ×e^θjsinφ 

=[cos(θcosφ)+isin(θcosφ)]×[cos(θsinφ)+jsin(θsinφ)]

=cos(θcosφ)cos(θsinφ)+isin(θcosφ)cos(θsinφ)+jcos(θcosφ)sin(θsinφ)