(一)双极坐标线性方程:ax+by=d(极距)
(1)极轴顶点的分点定比λ:
① 极点O1侧顶点的外分定比λ1=(b-1)/(a+1)(-1<λ1<0)
② 极点O2侧顶点的外分定比λ2=(b+1)/(a-1)(λ2<-1)
③ 两极点间顶点的内分定比λ0=(1-b)/(a-1)(λ0>0)
(2)笛卡尔卵形线与极轴只有两个交点(顶点)。
(二)双极坐标存在条件:
(1) x+y ≥ d>0
(2)|x-y|≤ d
(三)存在条件的解析图:(x,y)为直角坐标
(1)x+y=d(0≤x≤d)(线段)
(2)x-y=d(x≥d)(射线)
(3)y-x=d(x≥0)(射线)
“一段二射”所围的区域,即为解析图。两极点为O1(0,d)、O2(d,0).
(四)第一类卵形线:
(1)存在条件:0<(a、b)<1。
(2)基本性质:
① 两极点都在曲线内;
② 长半轴=d/(a+b);
③ a=b为椭圆。
(五)第二类卵形线:
(1)存在条件:(a、b)>0且1在a、b之间。
(2)基本性质:
① a>1>b>0:O1在曲线内,O2在曲线外;
② b>1>a>0:O2在曲线内,O1在曲线外;
③ 两极点间的曲线段,即为折射曲线:
(a)折射顶点的曲率为最大;
(b)当折射率比n1/n2=a/b时,可将“发散光”折射成“会聚光”;
(c)当折射率比n1/n2=b/a时,可将“会聚光”折射成“发散光”。
(六)第三类卵形线:
(1)存在条件:ab<0且1在a、b之间。
(2)基本性质:
① a(a+b)>0:O1在曲线内,O2在曲线外;
② a(a+b)<0:O2在曲线内,O1在曲线外;
③ a+b=0。双曲线一支。
(七)第四类卵形线:
(1)存在条件:ab<0且a+b>0且1在a、b之外。
(2)基本性质:
① 两极点都在曲线内;
② 长半轴=d/(a+b);
③ 整个曲线为折射曲线:
(a)当折射率比n1/n2=-a/b时,可将以O1为光源的“发散光”折射成以O2为象光源的“发散光”;
(b)当折射率比n1/n2=-b/a时,可将以O2为光源的“发散光”折射成以O1为象光源的“发散光”。
(八)分类图:(a,b)为直角坐标
(A)分类区域:
(1)第一类:0<(a、b)<1
(2)第二类:①a>1且0<b<1; ②b>1且0<a<1
(3)第三类:①a>1且b<0; ②b>1且a<0
(4)第四类:①a+b>0且0<a<1且-1<b<0
②a+b>0且0<b<1且-1<a<0
(5)不存在:①(a、b)>1; ②a+b≤0且(a、b)<1
(6)帕斯卡蜗牛线(单环):①a=-1、b>1: y=2d(b+cosθ)/(b2-1) ;
②b=-1、a>1: x=2d(a-cosθ)/(a2-1).
(B)分类边界:
(1)帕斯卡蜗牛线(双环):
①a=1且0<|b|<1(O2为结点):
极坐标方程:y=(-2d)(b+cosθ)/(1-b2)
y>0时为蜗牛线:x+by=d;
y<0时为蜗牛线:x-by=d;
②b=1且0<|a|<1(O1为结点):
极坐标方程:x=(-2d)(a-cosθ)/(1-a2)
x>0时为蜗牛线:ax+y=d;
x<0时为蜗牛线:-ax+y=d。
(2)线段:a=b=1
(3)射线:①a=-b=1;②b=-a=1
(4)圆:①a=0且b>0;②b=0且a>0
(5)极点:①a=1且-1<1/b<1;②b=1且-1<1/a<1
(九)共整曲线:(解析整式方程为同一方程)
(1)一类A与四类A的共整曲线:
① ax+by=d(0<b<a≤1)(一类A)
② ax-by=d(四类A)(②包含①)
(2)一类B与四类B的共整曲线:
① ax+by=d(0<a<b≤1)(一类B)
② -ax+by=d(四类B)(②包含①)
(3)二类A与三类A的共整曲线:
① ax+by=d(0<b≤1<a)(二类A)
② ax-by=d(三类A)(②包含①)
(4)二类B与三类B的共整曲线:
① ax+by=d(0<b<a≤1)(二类B)
② -ax+by=d(三类B)(②包含①)
(5)三类C与三类D的共整曲线:
① ax+by=d(a>1且b<-1)(三类C)
② -ax-by=d(三类D)
当a+b>0时,O1为内点,①包含②;
当a+b<0时,O2为内点,②包含①;
当a+b=0时,①、②合为双曲线。
(十)凹型卵形线:(ax+by=d)
(1)存在条件:0<a+b<1且|a-b|>1.(a、b异号)
(2)乳峰(二重切点)坐标:(bx+ay=0)
x=ad/(a2-b2)、 y=bd/(b2-a2).
(3)拐点坐标:(?)
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