6、图象无穷归纳法

（一）命题：

———证明  (1+1/x)^x + (1+x)^1/x ≤ 4   （x≥ 0）

（二）函数：

①     y=f(x)=(1+1/x)^x （y′′＜0）

②     y=g(x)=(1+x)^1/x （y′′＞0）

（三）图象：（0≤x≤ 1）

（1）曲线①、②与y轴分别交于A(0，1)、B(0，e)

（2）曲线①、②交于P(1，2)

（3）曲线①、②在P点的切线关于y=2轴对称，K_1,2=±(2ln2-1)

（四）作图：

（1）连接BP，直线方程为y=h₁(x).

（2）作BP关于y=2轴对称的直线A₁P，与弧AP交于A₁[x₁，f(x₁)]，直线方程为y=L₁(x)，且h₁(x)+L₁(x)=4.

（3）过A₁点作x轴垂线A₁B₁，与弧BP交于B₁[x₁，g(x₁)].

（4）连接B₁P，依此类推。当n→ ∞ 时，A_n、B_n趋向于P点。

（五）归纳：

（1）x在区间(0，x₁)内，

    ∵  2-f(x)＞2-L₁(x)=2-[4-h₁(x)]=h₁(x)-2＞g(x)-2

    ∴  f(x)+g(x)＜4

（2）依此类推，x在区间(x_n-1，x_n)内，

    ∵  2-f(x)＞2-L_n(x)=2-[4-h_n(x)]=h_n(x)-2＞g(x)-2

    ∴  f(x)+g(x)＜4

（3）x=1时，  f(x)+g(x)=4.   故x在区间(0，1]内，

         f(x)+g(x) ≤ 4  （得证）