正弦无穷乘积的初级证法

（1）奇倍角公式：

sin(2n+1)θ=∑(k=0…n)(-1)^kC(2n+1，2k+1)cos^2n-2kθsin^2k+1θ

（2）三倍角因式积：

        sin3θ=3sinθ-4sin³θ

              =3sinθ[1-(4/3)sin²θ]

              =3sinθ[1-sin²θ/sin²(π/3)]

       [由3θ=±π，得θ=±π/3]

（3）五倍角因式积：

        sin5θ=5sinθ-20sin³θ+16sin⁵θ

              =5sinθ[1-4sin²θ+(16/5)sin⁴θ]

              =5sinθ[1-sin²θ/sin²(π/5)][1-sin²θ/sin²(2π/5)]

       [由5θ=±π、±2π，得θ=±π/5、±2π/5]

（4）奇倍角因式积：依上类推

sin(2n+1)θ=sinθ∑(k=0…n)(-1)^kC(2n+1，2k+1)(1-sin²θ)^n-ksin^2kθ

                  =(2n+1)sinθ∏(k=1…n){1-sin²θ/sin²[kπ/(2n+1)]}

        [由(2n+1)θ=±kπ，得θ=±kπ/(2n+1)，k=1、2、……、n]

（5）换元：令(2n+1)θ=x，得

sinx=(2n+1)sin[x/(2n+1)]∏(k=1…n){1-sin²[x/(2n+1)]/sin²[kπ/(2n+1)]}

（6）取极限：令n→∞ 得

        sinx=x∏(k=1…∞)[1-x²/(kπ)²]