1、长半椭圆(长轴分割的半椭圆)上两点A、B,与椭圆两焦点E、F构成凸四边形AEFB。2、若A点到长轴距离大于B点到长轴距离,则
(1)∠EAB>∠ABF
(2)|AE|>|BF|
(3)∠EFB>∠AEF
3、以上性质“逆之、否之、等之”都成立。
4、证明:(余弦定理法)
(1)A(m,p)、B(n,q),p>q>0.
(2)AE=a+em、AF=a-em,BE=a+en、BF=a-en.
(3)低点B固定,等点A′开始,动到高点A,故(m+n)/2>0.
(4)cosA=(AB2+AE2-BE2)/(2AB*AE),cosB=(AB2+BF2-AF2)/(2AB*BF).
(5)2AB*AE*BF(cosB-cosA)=AE(AB2+BF2-AF2)-BF(AB2+AE2-BE2)
=(a+em)[AB2+(a-en)2-(a-em)2]-(a-en)[AB2+(a+em)2-(a+en)2]
=e(m+n)[(1-e2)(m-n)2+(p-q)2]>0。故 A>B 得证。
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