椭圆焦点四边形定理

1、长半椭圆(长轴分割的半椭圆)上两点A、B，与椭圆两焦点E、F构成凸四边形AEFB。

2、若A点到长轴距离大于B点到长轴距离，则

（1）∠EAB＞∠ABF

（2）|AE|＞|BF|

（3）∠EFB＞∠AEF

3、以上性质“逆之、否之、等之”都成立。

4、证明：（余弦定理法）

（1）A(m，p)、B(n，q)，p＞q＞0.

（2）AE=a+em、AF=a-em，BE=a+en、BF=a-en.

（3）低点B固定，等点A′开始，动到高点A，故(m+n)/2＞0.

（4）cosA=(AB²+AE²-BE²)/(2AB*AE)，cosB=(AB²+BF²-AF²)/(2AB*BF).

（5）2AB*AE*BF(cosB-cosA)=AE(AB²+BF²-AF²)-BF(AB²+AE²-BE²)

=(a+em)[AB²+(a-en)²-(a-em)²]-(a-en)[AB²+(a+em)²-(a+en)²]

=e(m+n)[(1-e²)(m-n)²+(p-q)²]＞0。故 A＞B 得证。