(一)伽马函数的原始定义:
Γ(z)=∫(0,∞)tz-1e-tdt. [ Re(z)>0 ]
(1)Γ(n+1)=n!,即 Γ(z)是阶乘的推广。
(2)基本性质:Γ(z+1)=zΓ(z)。
(二)Γ(z)的解析开拓方法1——两种积分法:
1、当[-1<Re(z)<0]时
(1)分部积分法:
Γ(z+1)=∫(0,∞ )tze-tdt=-∫(0,∞)tzd(e-t-k)=-|tz(e-t-k)|(0,∞)+z∫(0,∞)tz-1(e-t-k)dt,
由Γ(z+1)=zΓ(z)得,k=1. 即Γ(z)=∫(0,∞)tz-1(e-t-1)dt.
(2)参数积分法:
将Γ(z+1)=∫(0,∞)tze-tdt中的t换成xt(x为正参数)得,x-z-1Γ(z+1)=∫(0,∞)tze-xtdt.
两边对x积分,积分区间(0,1),由Γ(z+1)=zΓ(z)得,Γ(z)=∫(0,∞ )tz-1(e-t-1)dt.
2、当[-n-1<Re(z)<-n]时,同理可得
Γ(z)=∫(0,∞)tz-1[e-t-u(t)]dt,其中u(t)=∑(k=0…n)(-t)k/k!.
(三)Γ(z)的解析开拓方法2——分式级数法:
(1)Re(z)>0 : Γ(z)=∫(0,∞)tz-1e-tdt=∫(1,∞)tz-1e-tdt+∫(0,1)tz-1e-tdt.
(2)将e-t=∑(n=0…∞)(-t)n/n!代入∫(0,1)tz-1e-tdt中,化简得
Γ(z)=∫(1,∞)tz-1e-tdt+∑(n=0…∞)(-1)n/[n!(z+n)],其中,z为≠-n的一切复数。
(四)Γ(z)的解析开拓方法3——无穷乘积法:
(1)Re(z)>0 :Γ(z)=∫(0,∞)tz-1e-tdt=(n→∞)∫(0,n)tz-1(1-t/n)ndt.
(2)令t=nx,再分部积分得
Γ(z)=(n→∞)n!nz/[z(z+1)(z+2)…(z+n)],其中,z为≠0及负整数的一切复数。
(五)Γ(s)的解析开拓方法4——围道积分法:
2πi/Γ(s)=∮c z-sezdz,其中围道c正向绕负实轴一周。
此形式虽简单,但不知欧拉是如何得到的?
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