伽马函数的解析开拓方法

（一）伽马函数的原始定义：

          Γ(z)=∫(0，∞)t^z-1e^-tdt.    [ Re(z)＞0 ]

（1）Γ(n+1)=n!，即 Γ(z)是阶乘的推广。

（2）基本性质：Γ(z+1)=zΓ(z)。

（二）Γ(z)的解析开拓方法1——两种积分法：

1、当[-1＜Re(z)＜0]时

（1）分部积分法：

 Γ(z+1)=∫(0，∞ )t^ze^-tdt=-∫(0，∞)t^zd(e^-t-k)=-|t^z(e^-t-k)|(0,∞)+z∫(0，∞)t^z-1(e^-t-k)dt,

由Γ(z+1)=zΓ(z)得，k=1.  即Γ(z)=∫(0，∞)t^z-1(e^-t-1)dt.

（2）参数积分法：

 将Γ(z+1)=∫(0，∞)t^ze^-tdt中的t换成xt（x为正参数）得，x^-z-1Γ(z+1)=∫(0，∞)t^ze^-xtdt.  

两边对x积分，积分区间(0，1)，由Γ(z+1)=zΓ(z)得，Γ(z)=∫(0，∞ )t^z-1(e^-t-1)dt.

2、当[-n-1＜Re(z)＜-n]时，同理可得

Γ(z)=∫(0，∞)t^z-1[e^-t-u(t)]dt，其中u(t)=∑(k=0…n)(-t)^k/k!.

（三）Γ(z)的解析开拓方法2——分式级数法：

（1）Re(z)＞0 ： Γ(z)=∫(0，∞)t^z-1e^-tdt=∫(1，∞)t^z-1e^-tdt+∫(0，1)t^z-1e^-tdt.    

（2）将e^-t=∑(n=0…∞)(-t)ⁿ/n!代入∫(0，1)t^z-1e^-tdt中，化简得  

Γ(z)=∫(1，∞)t^z-1e^-tdt+∑(n=0…∞)(-1)ⁿ/[n!(z+n)]，其中，z为≠-n的一切复数。

（四）Γ(z)的解析开拓方法3——无穷乘积法：

（1）Re(z)＞0 ：Γ(z)=∫(0，∞)t^z-1e^-tdt=(n→∞)∫(0，n)t^z-1(1-t/n)ⁿdt.

（2）令t=nx，再分部积分得  

 Γ(z)=(n→∞)n!n^z/[z(z+1)(z+2)…(z+n)]，其中，z为≠0及负整数的一切复数。

（五）Γ(s)的解析开拓方法4——围道积分法：

2πi/Γ(s)=∮c z^-se^zdz，其中围道c正向绕负实轴一周。

此形式虽简单，但不知欧拉是如何得到的？