高阶等比数列的和

1、定义——

（1）S_k(n，x)=1+2^kx+3^kx²+……+n^kx^n-1.

（2）C(A，B)=A!/[B!(A-B)!]（组合公式）.

2、递进公式——

      S_k+1(n，x)=[x*S_k(n，x)]′_x（取关于x的导数）.

3、高阶等比数列的和——

（0） (1-x)S₀(n，x)=1-xⁿ.

（1） (1-x)S₁(n，x)=S₀(n，x)-nxⁿ.

（2） (1-x)S₂(n，x)=2S₁(n，x)-S₀(n，x)-n²xⁿ.

          …  …  …  …  …  …

（k） (1-x)S_k(n，x)=∑^k_i=1(-1)^i-1C(k，i)S_k-i(n，x)-n^kxⁿ.

4、当x=1时，即为“高阶等差数列的和”，S_k(n，1)=S_k(n)：

（0）  S₀(n)=n.

（1）  2S₁(n)-S₀(n)=n².

（2）  3S₂(n)-3S₁(n)+S₀(n)=n³.

          …  …  …  …  …  …

（k）  ∑^k_i=0(-1)ⁱC(k+1，i+1)S_k-i(n)=n^k+1.