1665 年，英国伦敦瘟疫，一个年轻的大学生躲回乡下老家。
他的名字叫艾萨克·牛顿。
仅用疫情期间的几个月，就创立了微积分，并成功拿来破解了天上和地上的自然法则。
不久之后，以及无穷的未来岁月，将会让每一个大学生都有了上这门课的机会。
避疫期间的牛顿，活动范围不会很大，和家人的交流也不会很多，因为早年丧父，娘又嫁人，家庭关系很一般。
那时候没有让人流连忘返的互联网，也没有分分钟不能离手的手机，牛顿就在自己家里读书、静思和演算。
大疫关闭了大学校园，却关闭不了牛顿的精神世界！
那么，是什么让牛顿获得了灵感，开创了一代伟业呢？
是瘟疫吗？或者是苹果？
其实，牛顿自己说过：
如果说我比别人看得更远的话，是因为我站在巨人的肩膀上。
这句话，其实有说话的背景，但是抛开这点。
这话确实没错，那么，这些巨人是谁呢？
是古希腊先贤？是东方智慧？还是牛顿那会儿的时代巨人？
答案隐藏在后面的故事里，让我们慢慢解开谜底，顺便一睹微积分这朵数学奇葩，哦不，是数学之花在芽苞初放时的那个身影。
看完，你可能会对牛顿有一个不同的认识，也可能会见识到那些巨人们在学术道场里击鼓传花式的风景。
但是，注意的是，不是说一定要通过历史去学习微积分。
微积分怎么学，当然是看现在的教材，一本不够，就多看几本，总有自己喜欢的。
看过相关历史的同学可能知道，牛顿在叩开微积分大门的路上有个重要发现，那就是广义二项式定理。我们会追寻牛顿的脚步，去看看他是如何发现这个的秘密工具的呢？
好了，言归正传。
话说微积分的单词 Calculus 是指计算、演算。
说起计算，在计算机发明出来之前，人们遇到各种计算问题时是怎么处理的呢？具体来说，有哪些计算问题，又分别是怎么处理的呢？
首先，我们快速回顾几个场景来热热身，顺便来点计算，活络一下筋骨，因为微积分之旅多少都是要计算的嘛。
首先，遥想一下在三四千年之前，古代人如何计算一个数的开平方、开立方？比如 和 之类的值。
你可能要问为什么要计算这个数呢？比如，知道正方形的面积求边长，或者知道立方体的体积求边长。
问题：已知 ，求 。
这相当于当面积翻倍时，正方形的边长是原来的几倍？这样的问题。
事实上，在已经出土的楔形文字泥板中发现了美索不达米亚人早在三四千年之前就已经处理了像 这样的近似值，
怎么，没看明白这个式子？忘了说，他们用的是 进制。后面三个分数好比十进制的十分之几、百分之几以及千分之几。
这时，从未来穿越过去的希腊人问：
老哥们回了几句：
谁跟你说必须要用整数之比表示的啊！世界这么大， 个数字用有限次就想表示完整了吗？
你们啊，太年轻，有时候过于幼稚。
圆周长和直径也是不可公度啊，难道你们永远逃避，不去计算它吗？
好了，说正经的。
美索不达米亚计算某个正数 的平方根的步骤并没有完整记录，以下步骤是后人推测：
估计一个初值 ，
由 更新值
用两次值的平均值更新值:
如果 和 的差值达到误差要求，停止计算；否则继续步骤 2。
这是一种迭代算法，这些值可以用分数表示，最后得到一个满足一定精度的分数。
这些计算在有些职业那里要经常遇到，为了避免重复计算，可以使用上面这个算法计算一大批数的开平方，制成表，以后需要计算了只要查表和插值即可。
例如，下面给出一部分整数的平方根和立方根的一个表格。
事实上，在已经出土的楔形文字泥板中，有很大比例是这类表格，包括：乘法表、倒数表、平方与立方表，以及平方根与立方根表。
不过，它们都是以 进制的楔形文字写成的。
甚至还有混合次数的情况，类如 ，其中 为从 到 之间的整数。
通过查这样的表可以解形如 的方程。
很容易发现：有些运算，如平方和开平方，满足 或者 。它们是互逆的，知道其中一个运算的输入和输出，另一个运算的也就知道了。
然而这个互逆性并不一定是显而易见的，有时候需要一定洞察力。为什么这么说呢，让我们后面沿着数学发展史一步步来体会吧。
另外，对于求平方根之类问题，我国古代也同样会涉及。比如《九章算术》中的方法，相当于按照如下恒等式来计算百、十、个位上的数字。
具体过程此处略过，有兴趣可以参考《九章算术》。
接着开头的问题多说一句，如果面对的不是正方形，而是矩形，该如何处理呢？比如已知矩形的面积为 ，两边之和为 ，求该矩形的尺寸。这个问题有两个未知量，用现代的数学符号来处理的话就得到一个方程组，
很容易想到把 代入第一个式子，得 ，即
再加上类似的一些问题，特别是宗教和建筑相关的一些事务引发了对一元二次方程的求解探索。
这在遥远的美索不达米亚人那里同样有计算方法，可能是已知最早的求根公式。
这就是另一幅故事画卷了，此处略过。
三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础，应用于测量为目的，同时也研究三角函数的性质及其应用的一门学科。
三角学包括平面三角学和球面三角学，跟我们一般的认识不同，历史上是先有球面三角学。不是在篮球面上搞计算，而是起源于天文计算，即面向浩瀚无垠而又抬头可见的天球。
在古希腊，天文学作为数学的一个分支，研究目的是创造可以模拟天体运动现象的几何模型。
一般来说，这个传统至少始于毕达哥拉斯（Pythagoras，约前 570 至 前 495）学派。
毕派是一个大帮派，有 logo，就是下面这个五角星。
这个图形里也有故事，不过先不急，后面再说。
毕派十分重视自然及社会中不变因素的研究，在几何、算术、天文、音乐等多方面的研究中探索和追求宇宙的和谐规律性。
他们甚至提出：宇宙间一切事物，例如天上的星体以及人间的音乐等，都可以用整数或整数的比例、平方以及直角三角形等数学理念去反映和证实。
强调一下，天上和地上的东西是可以用同一套理论去解释，这点在后人如牛顿那里还会再次显现。
毕派的数学信仰和成就对后世影响巨大，如下面要讲的这几个重量级人物。
柏拉图（Plato，前 427 至前 347）在《理想国》中将毕派四艺作为哲学教育的基础，据传他鼓励学员欧多克索斯（Eudoxus，约前 410 至前 347）去发展一套古希腊天文学体系。
欧多克索斯的确是他那个时代最著名的数学家和天文学家。
在数学上，继往开来，提出了比例论、穷竭法等重要理论和方法，甚至为公理体系的建立奠定基础，成为后世数学家欧几里得和阿基米德的肩膀。
在天文学中，欧多克索斯设计了一个基于球体的行星系统。由于毕达哥拉斯认为球体是最完美的形状，而欧多克索斯及老师 Archytas 深受其影响，于是他开发了一个基于球体的系统也就不足为奇了。
欧多克索斯提出的由多个旋转球体组成的同心球系统，每个球体围绕通过地球中心的轴旋转。下图为月球的同心球系统，
欧多克索斯之后的欧几里得（Euclid，约前 330 至前 275 年）的著作中包含了一些球面几何知识。
到了亚历山大时期，希腊定量几何学中出现一门完全新的学科，即三角术，主要由喜帕恰斯（Hipparchus，约前 190 至前 120 年）, 梅涅劳斯（Menelaus，约 70 至 140） 和托勒密（Ptolemy，约 90 至 168）所创立。
这门新学科是由于人们想建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行位置和轨迹，以用于报时、日历计算、航海和地理研究。
注意，此时的希腊人的三角术是球面三角学（当然也包括了一些平面三角学的基本内容）。他们在前人的基础上已经知道一些球面几何知识，例如大圆和球面三角形的许多知识。
三角术的奠基人是喜帕恰斯，此人利用一次日全食在两地看到的太阳被遮挡的比例不同，计算出了月球的视差以及地月距离。
按照托勒密的说法和用法，喜帕恰斯按照巴比伦人那样把圆周分为 ，把它的直径分为 等份。圆周和直径的每一分度再分成 份，每一小份再继续照巴比伦人的 进制往下分成 等份。
然后，对于给定度数的弧 ，喜帕恰斯计算了相应弦的长度，并制作成表，不过他的著作现已失传。
喜帕恰斯他列出了标准圆周的圆的弦长，他将其设定为 单位（对应 º）。他以 个单位为增量间隔绘制各种度数弧所对应的弦的长度，即步长为 º。下图展示了喜帕恰斯计算的一段弦，红色虚线段表示，
从 单位的圆周中取 个单位的角度，即相当于 度，其对应的那段弦的长度为 个单位。
显然，喜帕恰斯的每条弦形成一个内接在圆内的等腰三角形的底边，人们可以使用表格中的数据来计算具有相同顶角的其他等腰三角形的边长。
事实上，喜帕恰斯的表格与现代正弦函数非常相似，不难看出两者之间的区别是所涉及的角度刚好是两倍关系。
从图中可以看出，我们现在的正弦线是喜帕恰斯弦长度的一半，对应的圆心角也是一半。
Sine 来自拉丁语 sinus，意思是指湾，可以联想成正弦线和圆弧之间形成的小海湾。
另外，顺便看一下割线，如下图中的蓝色虚线段所示。
蓝色虚线段对应正割函数 ，它的长度很容易算得，。即正割函数和余弦函数互为倒数。
正割的英文单词 Secant 来自拉丁语 secare，切割，意思它切割了圆弧。
我们回到上面的喜帕恰斯的弦图。圆的弦总是比它所对的弧短，但对于非常小的角度，差异将是微不足道的。因此，对于非常小的角，喜帕恰斯可以将角本身的大小作为对角的弦长的合理的近似值。
遗憾的是，由喜帕恰斯编制的三角表没有保存下来，但据传为半径圆提供了 到 度之间各种中心角的弦长度值，增量为 度半。对于不同半径的圆，这些值可以按比例缩放。
更完整的和弦表归功于埃及亚历山大的托勒密，不过很大程度上这是基于喜帕恰斯的工作改进而来。
与喜帕恰斯一样，托勒密将圆分成 度，他将直径分为 个单位，即 度对应的弧长为 个单位。
托勒密的弦表给出了圆心角从 度到 度的弦值，步长为 度。表中的每个元素都包括圆的弧值（以度为单位的圆心角）、弦（以六十进制数表示）以及 'sixtieths'（插值用）。
托勒密通过将连续两段弧对应的弦值之间的差值除以 来计算连续两段弧中间的步长，用于计算角度不在表中的更高精度角度的弦值，这称为线性插值，是一种简单但有效的方法。
看到这里，可能你会想，托勒密到底是怎么计算弦长的呢？该不会是拿个圆内接正多边形，然后去量边长吧？
并非如此，托勒密利用了一个定理，大大方便了弦值的计算。这个定理虽然后来是以他的名字命名的，但其实是喜帕恰斯发现的。
我们来看一个例子，如下图所示，求 度圆心角对应的弦长 。
托勒密定理：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于其对角线的乘积。对于上图中的圆内接四边形 ，由托勒密定理得，
然后再根据勾股定理可求得 和 的弦长，即 度圆心角的弦长。
观察下图，可发现一旦 度圆心角的弦长已知，则 度圆心角的弦长也能根据勾股定理计算而得。
有了上面这条，托勒密只要计算从 度到 度每隔半度增量的角度的弦值。
前面计算了 和 度， 度的只要开根号，然后 度的也好说。其他度数这里就不展开了，主要是利用勾股定理和托勒密定理。
下面的表复制了托勒密的弦表中前 个弧值。请注意，下表中添加了十六进制值的十进制值，以使得表中数据更易于理解。
我们也可以将这个表看成弦长和弧长之间的转换规则，类似于现在的正弦函数 和它的反函数 。
当然，这里的角度跟正弦函数里的角度的关系上文已经说过。
我们可以称它为全弦表，以区别于后世的正弦表。
而三角学中正弦和余弦的概念就是由后来的印度数学家引入的，他们还制作了比托勒密更精确的正弦表。
古代三角学只是作为天文学的一部分内容而已，大概到 世纪，阿拉伯人将三角计算以算术方式代数化，才开始将三角学从天文学中独立出来。而我们现在用的这些三角函数的正式提出以及弧度制还得等到几百年以后。
这里除了回顾下三角函数的历史渊源外，还想说的是角度和弦长之间的关系也是互逆的，知道两者之一就可以查表获得另一个值。
它用于评估正弦值等于其对边与斜边之比的角度。因此，如果我们知道对边和斜边的长度，就可以求出角度的量度。
我们知道天文数字很大，计算起来很费劲。后来有人发明了对数，大大提高了天文学家的幸福感。
比如，对于某个长数字 ，通过查表可以得到对应的值 。
在讲对数之前，我们先来看一下德国数学家施蒂弗尔（Stifel，1487 – 1567）及其重要发现。
这个人早年是一名神职人员，一开始着迷于研究圣经中字母和单词的统计特性，用现在的眼光看有点像神棍。比如从名字字母计算出谁谁是恶魔，从数字中预言审判日等。
不过后来还是转向了数学研究，或许也是他对数字中隐藏着奥秘这个执念引导他发现了一些隐藏在数字序列背后的规律。
在他 1544 年的名著《Arithmetica integra》中，首次提出了指数的概念。他不仅给出了等差数列 、、、、…… 与几何级数 、、、、 …… 之间的对应关系，而且他将其向后扩展，使得 对应为 ， 对应 ， 对应 ，以此类推。
他书中列出的两列数字：
可以看出，他在书中将左边一列称为Exponent，就是我们现在所说的指数，是一个等差数列，而右边一列对应 ，称为原数，是一个等比数列。并且他还发现一个规律，
两个原数相乘等于指数相加后得到的指数对应的原数；
两个原数相除等于指数相减后得到的指数对应的原数。
即，
换句话说，可以将右边那列数的乘除法转化为其指数的加减法。
你可能会说，这不是对数吗？
是的，这种运算规律就是他发现的。
不过遗憾的是，他并没有去思考当指数不是整数时的情况。
但他似乎意识到他偶然间发现了一个重要事情，因此他写道：关于数字的奇妙事物可能会写一整本书，但我必须克制并闭上眼睛避开这些事物。
他并没有利用两数列间的这一联系来引进对数这个概念，这点非常遗憾。但是他的工作启发了后人，如纳皮尔（Napier，1550 - 1617），比吉尔（Burgi，1552 - 1632）等人正式发明对数。
纳皮尔在 1594 年左右搞出对数的时候就是受了几何数列和算术数列之间的这种对应关系的启发。实际上，纳皮尔关心的是简化为解决天文问题的球面三角的计算工作。
《Arithmetica integra》中处理的另一个主题是负数。负数，现在早已司空见惯了，但在当时，大多数数学家拒绝接受负数并认为它是荒谬的。
然而，施蒂弗尔对数字情有独钟，不同于一般人，他使用了负数，将其作为单独的数来看待。
他还讨论了无理数的性质，以及无理数是实数还是虚构的。施蒂弗尔发现它们对数学非常有用，而且不是可有可无的。
他还涉及了二项式展开系数，用于计算某些高次方程的根。
西方一般称之为帕斯卡三角，而我们称之为杨辉三角或更早的贾宪三角。
局限性：上面施蒂弗尔的那个指数表里的指数只涉及整数。
实际上，我们将上一节的开方与指数一结合，是不是可以表示非整数的指数呢？例如
先来看一个常数，
正如美索不达米亚人所说，这个数再次让古希腊人难以接受，因为它不能用分数精确表示。
但是，这个数就像圆周率那样，你到处都会发现它的身影。比如，实数 的自然对数 就是将 提升到其幂为 的数
那么问题来了，为什么要计算自然对数呢？
当时困扰人们，尤其是天文学家的一个问题是大数算术。所谓的天文数字。天文计算需要非常大的数字的乘法和除法，没有计算器就很难做到这一点。从前文中那个德国数字大神那里应该可以发现，使这种大数计算变得更容易的一种方法是从幂次的角度来处理。
正如求幂规则告诉我们的那样，要乘以 2 的两个幂，比如 ，只需要将它们的指数相加。而除法只需通过减去它们的指数来实现。当然，这里只涉及整数次幂。一定意义上说，需要扩展这种机制，因而引发了对数。
变成对数以后，会大大方便大数的计算。已知某个数 ，人们通过查表来得到 的值。
那么，这个表哪里来的呢？
1614 年，数学家、物理学家和天文学家纳皮尔在一篇名为《构建奇妙的对数规范》的论文中首次发表了与后来被称为自然对数非常相似的数表。
这个 本身就很神奇，他又是如何定义了与以 为底的对数非常相似的东西呢？
然而，实际上纳皮尔本人并未听说过数 ，这就更让人感到奇怪了。
要知道那年代是在微积分、无穷级数计算或坐标几何之前，函数的概念也还没有。我们现在认为对数函数是指数函数互逆，但纳皮尔工作的时候甚至连指数都还不是一个普遍知道的概念。因此他并没有从这个函数关系去实现这个任务。
实际上，他的关键思想是满足以下条件的对数的特定定义，
目标：如果一组数字呈几何级数，那么它们的对数就是算术级数。
要知道，这里的目标是很明确的，就是要使用简单的加法、减法、乘法和除法来替换相对复杂的乘法、除法、幂次和开方。
因此，粗略地说，纳皮尔以几何级数构造了一组数字，并使用线性插值找到了它们的对数。对于几何级数，他选择了常用的比例，例如 。这个取法的目的主要在于做乘法时会比较方便：从数字中减去将它向右移动 个小数位的结果。例如，到小数点后七位， 是，
实际上，他是通过想象点沿着直线移动来做到这一点的！
他通过仔细观察和思考，发现一个办法可以将几何和算术两个序列的不同机制联系起来。
纳皮尔的对数定义如下。
想象一条长度为 (= ) 的线 ，沿该线点 从 移动到 使得它的速度与它到 的距离成正比。
同时，另一条线上的另一个点 ，从 开始，当 在 时，以匀速运动（在 时 的速度）。
请结合下面这个图，
定义：如果当点 在 时点 在 ，那么长度 的对数被定义为长度 。
易知 以及 （当 时）。
纳皮尔要具体实现上文刚说过的目标：当 在相等的时间后被覆盖时，即 的长度呈算术级数，那么 的长度呈几何级数。
不妨按照纳皮尔的意思来打个比方：
和 两个点以不同方式散步， 年近耄耋，越走越慢，等比降速， 年轻力壮，以恒定速度走。
这里 的走法让人想到一句话，那就是惠施说的：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
只不过这里不一定要日取其半，现代人的生活节奏变快了，以秒计时。
比如，每一秒取余下的万分之 之类的。
构造 的目的很显然，就是为了构造一个几何级数。
选一个比较小的时间单位，比如就用秒。
假设在 秒之后一人走了 ，另一人走了 ，其中 。如果时间单位很小，则有距离 。
然后在 秒之后得到 以及 。
这种方式构造出来两列数字，那么它们之间就能满足对数关系吗？
虽然纳皮尔那会儿并不在意它们之间的具体关系，他要实现的是以指数的加减运算代替原数的乘除运算。
可以动手验证一下 的乘除是否对应 的加减，记得两边除以 。
至于对数关系，我们不妨用现代的符号来作个验证。由上面两式可以计算出 以及 ，此时将 以及 代入，得
因此，前面一些值确实有如下关系，
疑问：那他这么构造出来的就是自然对数吗？好像压根儿没有 的身影啊！
其实这个关系是后人发现的，而且不是自然对数，只是含有 。下面我们来一探究竟。
先把上面式子改变一下，得
这样还是不明显，在指数那里继续改写，提出一个 ，得
现在有点明目了，能联想到如下指数函数，
这个式子实际上是后来欧拉引入的指数函数的正式定义，这里我们先借用一下。
令 ，得
而且由于 是一个非常大的数字，所以纳皮尔对数的底，也就是下面这个数
该值非常接近极限 ，显然它小于 。
由于
也就是，
因此，可以认为 的值非常接近 的以 为底的对数。
以上就是为什么纳皮尔的工作往往被认为是数学史上第一次引入了 ，尽管是隐含的。
准确地说，纳皮尔的表格给出的是从角度 到 的正弦的对数。
当时离古希腊喜帕恰斯时代已经过去近两千年了，正弦的定义已经从全弦中提出来了，大致可以追溯到公元 5 世纪的印度数学家 Aryabhata。纳皮尔那会儿使用的正弦用现代符号可以表示为 。
纳皮尔选择了 ，因此 和 。他的表格给出了等距角正弦的对数，因此尽管它给出了从 到 的数字的对数，但这些数字并不均匀，即间距并不相等。
下图是他的表中某页的一部分：
最后一行表示 ，这里省略掉了小数部分，而对数的值为 。如果从右边读取，它给出补角 的正弦，也是该角度的余弦。而两个对数之差为
我们简单来验证一下。
import math
R = 10**7
pi = 3.14159265358979
math.sin(pi*9.5/180)*R, math.log(1650476/R, 1-1/R)
1650476.0586067748, 18015212.727089964
发现最后两位还是有些误差的。
关于 的选择，是乘以 的较大幂，以便整数部分中有足够的数字。当然，这个数字取得大，就会多消耗纳皮尔的精力去计算。
纳皮尔发明对数是为了简化球面三角的运算，所以实际上他给出的是三角函数值的对数，但这样的定义无形中增加了计算对数的困难。
在 1615 年，当时的数学家和天文学家布里格斯（Briggs，1561~1631）向纳皮尔提出了一项建设性的意见，用今天的话来说，就是把一个数的对数定义为以 为底情况下这个数的指数。
这样就使得对数的计算简单了许多。自此之后，大量的数学家利用各种各样的方法，计算并制作了许多数据庞大而详尽的对数表。
例如 1624 年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以 为底的包含 1~20000 及 90000~100000 的 位常用对数表。
而在没有计算器的时代，这样的对数表对数学家、天文学家和航海家等来说，无疑就如救世主一般。
关于对数的重要性，最著名的评价无疑是伽利略的名言：给我空间、时间和对数，我就可以创造整个宇宙！
而著名的拉普拉斯也说过：对数的发明极大的延长了天文学家们的生命。
而对数表退出历史舞台，让位于先进的计算机，也只不过是近几十年的事而已。
上面说了，引入对数的一大目的就是为了简化运算，将乘、除、幂次以及开方转化为加、减、乘和除。
为了感受一下使用对数带给天文计算的便利，我们来看一个某本书上的例子。
设想一下，你有一份常用对数表，当看到正数 时，就找到 的常用对数 ，反过来看到实数 时，就找到常用对数为 的数字 。
在计算某个 时，首先需要参照常用对数表，对 的常用对数 进行如下的计算：
然后再次参照常用对数表，得
一个量的平方与另一个量的立方成正比，这个规律似乎并不明显，因为幂次有那么多，谁知道它们具体呈现的规律涉及几次幂呢。
纳皮尔设想的点移动问题其实也可以使用微分方程来求解。
注意，此处咱们可不管芝诺的悖论不悖论，让点畅快地运动起来。
令 是 的长度，而 是 的长度，那么点 的速度为，
其中， 是 在 时的初速度，而点 的速度为，
由两者可得，
求解这个微分方程，不要忘记它是有初值条件的，那就是 ，得到解
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