一个数学问题,出自中国古代约5—6世纪成书的《张邱健算经》,是原书卷下第38题,也是全书的最后一题。
题今有鸡翁一,值钱伍;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、鸡雏各几何?
原书没有给出解法,中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法,只有约6世纪的谢察微记述过一种不算正确的解法。
到了清代,研究百鸡术的人渐多,1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题,从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题的表达形式也越来越多,如百僧吃百馒,百钱买百禽等。
实际上,《算经》中提出的数学问题简言之就是我们现代数学所说的百钱买百鸡问题:一只公鸡值钱5,一只母鸡值钱3,三只小鸡值钱1,100块钱怎么才能买到100只鸡,并且买到的小鸡、母鸡、公鸡各是多少呢?
从现代数学观点来看,是一个求不定方程组的题目。
假设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只,由题意得:
x+y+z =100……①
5x+3y+(1/3)z =100……②
有两个方程,三个未知量,称为不定方程组,有多种解。
令②×3-①得:7x+4y=100;所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4,
令x/4=t, (t为整数)所以x=4t,把x=4t代入7x+4y=100得到:y=25-7t,易得z=75+3t;
所以:x=4t,y=25-7t,z=75+3t。
因为x、y、z为正整数,所以4t大于0,25-7t大于0,75+3t大于0,解得t大于0小于等于25/7又因为t为整数。
所以t=1时,x =4,y =18,z =78;当t=2时,x =8;y =11,z =81;当t=3时,x =12,y =4,z =84。
因为x、y、z都必须小于100且都是正整数,所以只有以上三组解符合题意:
如果不要求都是正整数的话,当t=0时,,那么x=0,所以y=25,z=75 。
由上面运算得知,不要求公鸡、母鸡、小鸡都买的话,总共有四种方案可以满足百钱买百鸡;如果要求公鸡、母鸡、小鸡都需要购买的话,那么就有三种买鸡的方案可以满足百钱买百鸡。
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