百鸡问题

一个数学问题，出自中国古代约5—6世纪成书的《张邱健算经》，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题。

题今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鸡雏各几何？

原书没有给出解法，中国古算书的著名校勘者甄鸾和李淳风注释该书时都没给出解法，只有约6世纪的谢察微记述过一种不算正确的解法。

到了清代，研究百鸡术的人渐多，1815年骆腾风使用大衍求一术解决了百鸡问题，从此百鸡问题和百鸡术才广为人知。百鸡问题的表达形式也越来越多，如百僧吃百馒，百钱买百禽等。

实际上，《算经》中提出的数学问题简言之就是我们现代数学所说的百钱买百鸡问题：一只公鸡值钱5，一只母鸡值钱3，三只小鸡值钱1，100块钱怎么才能买到100只鸡，并且买到的小鸡、母鸡、公鸡各是多少呢？

从现代数学观点来看，是一个求不定方程组的题目。

假设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z 只，由题意得：

x+y+z =100……①

5x+3y+(1/3)z =100……②

有两个方程，三个未知量，称为不定方程组，有多种解。

令②×3－①得：7x+4y=100；所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4，

令x/4=t, （t为整数）所以x=4t，把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t，易得z=75+3t；

所以：x=4t，y=25-7t，z=75+3t。

因为x、y、z为正整数，所以4t大于0，25-7t大于0，75+3t大于0，解得t大于0小于等于25/7又因为t为整数。

所以t=1时，x =4，y =18，z =78；当t=2时，x =8；y =11，z =81；当t=3时，x =12，y =4，z =84。

因为x、y、z都必须小于100且都是正整数，所以只有以上三组解符合题意：

如果不要求都是正整数的话，当t=0时，,那么x=0，所以y=25，z=75 。

由上面运算得知，不要求公鸡、母鸡、小鸡都买的话，总共有四种方案可以满足百钱买百鸡；如果要求公鸡、母鸡、小鸡都需要购买的话，那么就有三种买鸡的方案可以满足百钱买百鸡。

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