什么是共振理论？

首先推荐一本讲共振的科普书，名字就叫《共振》，这本书是我高中时代学习物理的入门书之一，作者是李守中。

下面以力学里的受迫振动问题为例，介绍一下共振理论。

考虑一个理想的弹簧，弹性系数是k，没有阻尼，也没有外界的驱动。如果有一个质量为m的物体拴在这个弹簧上的话，它受到的力只有：F=-kx，考虑牛顿第二定律：F=ma=-kx，或写成：

x上面的两个点表示对位置求二阶导数。

这个微分方程的解可表示为：

进一步，我们考虑质量为m的振子运动起来会受阻力，这个阻力的大小与速度成正比，方向与速度相反，即：-γv，这里γ表示阻尼系数，v表示振子的速度。

最后，我们考虑外界的驱动，假设外界的驱动是个周期性的外力f，角频率为Ω，f=H·cos Ωt。

这几个要素一起考虑的话，弹簧振子的牛顿第二定律可写为：

引入新的参数：

微分方程可改写为：

现在的问题是如何求受迫振动的解：x(t)。

我们用复数向量法求解x(t)，即把x看成是复数向量，取实部后对应物理的解，复数向量满足的微分方程是：

考虑试探波函数：

第一项对应角频率为ω的阻尼振动，第二项对应角频率为Ω的振动。

分别求出x的一阶导数和x的二阶导数，

代入到包含周期驱动力的微分方程中去。

包含ω的复数向量的因子应当为0，

求出：

考虑微分方程中包含Ω的部分，求出：

考虑正弦函数的平方加余弦函数的平方是1，求出：

最终我们求出的解是一个频率为ω随时间衰减的振荡，与频率为Ω不随时间衰减的振荡的叠加。时间足够长后，只有后者能存在，其频率是Ω，振幅是B。

由B的表达式，我们可以看出当周期性外力的频率Ω等于系统没有阻尼时的固有频率ω0时，振幅B达到最大，此时对应的就是共振。如果同时阻尼β也很小的话，不论周期性外力f多么小，它最终都会驱使受迫振动的振幅变得很大很大。

共振示意图，横轴是频率，纵轴是振幅。外界驱动频率太大或太小都不好，要离系统固有频率不太远才好。

以上就是共振现象的物理学解释，这里虽然是以力学为例的，但对RLC电路的共振现象也适用。