等宽曲线
圆是与一个定点的距离等于定长的所有点组成的曲线。车轮就直接地应用了圆的这个性质。车轮正是由于它的等长的车辐，使车轴处于一定的高度，从而得到一个平稳的水平运动。倘若车轮不是圆的，那么车轴将会产生一种忽上忽下的运动。运动中如果有很大的载重，轮和轴就不能保持十分坚固。
目录
定义及性质等宽曲线画法常规画法画法关键应用定义及性质等宽曲线画法常规画法画法关键应用展开
编辑本段 定义及性质
有时我们要移动重物，可以如同图1那样把重物放在圆木棍上滚动，并平稳地前进。圆用来作滚动的原因是由于圆有这样的性质，即当圆不管怎样滚动时，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的。即圆在任意方向都有相同的宽度，因而圆也就是所谓的“等宽曲线”。
然而令人惊讶的是，对于完成流动所需要的性质来说，棍的横断面未必要是圆的!
编辑本段 等宽曲线画法
常规画法
事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是如图2所示的
曲边三角形。它的画法如下：
1．画一个等边三角形；
2．以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。
显然，这个等宽曲线的宽度等于原来等边三角形的边长。请你亲自动手做个实验。把一硬纸卡片剪出一个如上所画的等宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个等宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动（如图3）。实际上，任何等宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间而自由地转动；反之，可以在正方形内紧密而自由地转动的曲线也是等宽曲线。
用这种等宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不至于上下颠簸（如图4）。这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以也称为鲁列斯曲边三角形。
在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长。由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了（如图5）。 画法关键
画等宽曲线的关键的想法是：圆弧的中心是它所对的角顶。下面介绍一种等宽的曲边多边形的一般画法，并使它的宽度为b。开始可以把任意点B作为第一个角顶，以B为圆心、b为半径画弧；在这个弧上，选择A和C二点作为新角顶，以C为圆心、b为半径画弧（该弧必经过B）；在这个弧上，选择另一个角顶D，以D为圆心、b为半径画弧（该弧必经过C），如果我们希望结束这个过程，可以在这个弧上选择角顶E，使它也处在以A为圆心、b为半径的弧上（该弧必经过点B）。也就是E是两个弧的交点。最后，用一个以E为圆心、b为半径的弧连接A和D，这样就得到一个等宽的曲边五边形ADBEC（如图6）。边数更多的多边形，可用同样的方法作出来，这只要多作几步，然后使曲线成为闭合的就可以了。
同样的原理，我们还可以利用这些曲线得到没有任何角顶的等宽曲线。
这些方法使我们可以构作无数个等宽曲线，它们都是由许多圆弧组成的。但不要误解为等宽曲线只能由圆弧组成，实际上有这样的等宽曲线，它的一部分不管是多么小，都不是圆弧。在这里我们不可能介绍它，因为已经超出了初中几何知识的范围。
编辑本段 应用
日常生活中，我们看到许多加盖的盛具，如锅、杯、壶、缸、桶之类，都是圆口圆盖的形状。这除了容易加工制造以外，主要还是应用圆是等宽曲线的特性。圆形的盖子，只要它不变形，从任何方向都不会掉进盛具里去。为了提高观赏价值与品茶雅兴，一些艺术茶壶的壶盖可以设计成其他等宽曲线的形状。
等宽曲线
操作：按下启动按钮，观察车轮为等宽曲线形状的小车的运行状况。
原理：车轮并非一定要做成圆的，形状近似于“三角形”的等宽曲线车轮，也能使车子平稳行驶。
如果在等宽曲线上作两根平行线与之相切，不管瞄在什么位置，夹在这两根平行线之间的距离都相等。所以，当形状为等宽曲线的轮子作水平滚动时，其表现为最高点的高度保持不变。
通过本展品的演示，能形象地揭示等宽曲线的奇妙特性及与圆的内在联系，引起观众突破常规的思维方式
等宽曲线
很久很久以前，人类就知道可以利用横切面为圆形的滚轮搬运重物．据说古埃及人就是利用这种滚轮搬运建造
金字塔的石块的．
滚轮向前移动1m，上面的石块会向前移动多远？答案并不是1m．
如果你从图1中无法看出答案，可用3支铅笔滚动一本书，以帮助思考．
当石块在圆形滚轮上滚动时，它是在作与地面平行的平滑移动．你可能会认为滚轮的横切面应该都是圆形．其实还有许多其他形状，都具有转动时宽度相同的特性．图2和图3就是两种具有这种特性的形状．
把它们画在卡片纸上，并剪下来．
画图2所示形状的步骤如下：用圆规画出半径为6cm的圆弧BC，圆心为A；再以B点为圆心，画出圆弧AC；最后以C点为圆心，画圆弧AB．
剪下这个图形，并在纸上画两条相距6cm的平行线，把剪下的图形放在两平行线之间，沿着一条线滚动(可以在一条线上放一把直尺)．你应该可以发现不管角度如何改变，这个图形都会接触到两条平行线．
画出图3所示形状的步骤如下：先画出一个等边三角形ABC，边长为4cm，然后把每一边向外延伸至少1cm．
以A为圆心，用圆规画出半径5cm的圆弧ST，接着分别以B、C为圆心，画出弧QR和UP；再以A为圆心，用圆规画出半径1cm的圆弧PQ，以B为圆心画出弧TU，以C为圆心画出弧RS．把这个图形也放在两条相距6cm的平行线之间做实验．
现在画一个边长6cm的正方形，你可以看到这个形状恰好可以放入正方形内，而且可以同时与四边接触．
有一种可用来切出正方形洞的特殊钻孔机，就是运用这种原理设计的，如图4所示．
英国的50便士硬币(参见图5)也具有等宽的曲线(试画出较大的图形)．由万克尔(Wankel)所设计的旋转式发动机中的转子(rotor，参见图6)也具有相同的性质．虽然可以用这些形状作滚动，但它们不能做轮子．为什么？除了圆形以外，是否还有其他形状可以作为轮子使用呢？
对等宽曲线图形的中期研究报告
学校：北京市陈经纶中学
作者姓名 ： 宁静 白帆 李佳琦 武一夫
摘要：
本文献综述将有以下几个部分：
一、等宽曲线图形的出现与画法
二、等宽曲线图形的初步性质
三、对未来研究的计划
关键词 ： 等宽曲线 / 莱洛三角形 // 鲁列斯曲边三角形 /
引言 ：
在参观中国科技馆 “数学之魅”馆中，笔者及其小组成员发现了非圆形的车轮能够起到同圆形车轮同样的效果。车轮总是圆形的结论已成潜移默化的成为了思维定式，这一有趣的现象使本小组对此产生了一定的兴趣，并引发本组成员对于莱洛三角形以及众多等宽曲线图形的研究。以下是本组成员对等宽曲线图形的中期研究成果。
正文：
一、 等宽曲线图形的出现与画法
1. 等宽曲线图形的出现
中世纪意大利诗人但丁说过：“圆是最完整的图形”。圆对于人类最深
刻的印象，莫过于圆周上的点到圆心的距离相等。车轮正是由于它的等长的车辐，而使车轴处于一定的高度，从而才能平稳地水平运动。圆的任意两条平行切线之间距离都是相等的，都等于直径。四千年前的古埃及人，大概就是把一块又一块的巨石放在圆木棍上滚动着推到金字塔顶。假如没有圆的这种“等宽度”的特性，我们这个星球的文明，不知要往后推迟多少年。然而令人惊异的是，对于完成滚动来说，棍的横断面未必要是圆的！这一点大多数读者可能难以置信，但却是千真万确的事实。下图所示的曲边三角形就是最简单的具有“等宽度”性质的图形这种具有奇特功能的曲边三角形，是由工艺学家鲁列斯首先发现的，所以叫做鲁列斯曲边三角形，即等宽曲线图形。
2. 等宽曲线图形的画法 事实上存在着大量的非圆等宽曲线，最简单的等宽曲线不是圆，而是上图所示的曲边三角形，即莱洛三角形。它的画法如下：
步骤一 ．画一个等边三角形；
步骤二 ．以所作的等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，作各内角所对的圆弧。
在鲁列斯的等宽曲线上有尖点，即在两条圆弧相交处形成角顶。我们希望它光滑一些，可以按下面的方法得到没有任何角顶的新的等宽曲线：
方法一 . 把等边三角形的各边向两个方向延长相等的一段；以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径，等于边长与延长线的长度的和；内角的对顶角所对的圆弧，等于延长线的长。由这样的六条圆弧组成的等宽曲线克服了尖点，因此光滑得多了 如下图（左图为五边形等宽曲线图形）
方法二 . 找到等边三角形的外接圆圆心，分别连结外心与三角形的三个顶点。取三条线段中点，以这三点为圆心，以二分之一线段长为半径画圆，内部圆弧与外部圆弧的交点间的内部圆弧即可克服鲁列斯三角形的尖点。图形即为无尖点的近似等宽曲线图形。
延伸：由方法二可以找到所有多边形作近似等宽曲线图形的方法。
二、 等宽曲线图形的性质（初步）
1. 等宽曲线的充要条件
定义：平面上简单的严格凸的闭曲线（卵形曲线）垂直每个方向都可作两条互相平行的切线，成为这个方向上的最高线和最低线，两切点称为相互对应。
卵曲线称为等宽曲线，如果每个方向上的最高线和最低线之间的距离为常数，那么这个图形就具备等宽曲线图形的性质，这个图形（近似等宽曲线图形）则是等宽曲线图形 [2]
三、对未来研究等宽曲线图形的计划
1 继续研究等宽曲线图形的性质。
2 分析列举常见等宽曲线图形并于圆比较。
3 等宽曲线图形应用：等宽曲线泵。
4 从平面到立体，对“等宽曲线体”的猜想。
参考文献：
[1] 百度百科
[2] 关于等宽曲线的讨论 --- 陆雅言 丁以山
