两角和与差的三角函数公式的证明

利用单位圆方法证明 sin（α+β）= … 与cos（α+β）= …，是进一步证明大部分三角函数公式的基础。

 

1、sin（α+β）=sinαcosβ+ cosαsinβ

在笛卡尔坐标系中以原点O为圆心作单位圆，在单位圆中作以下线段：

 

如图中所示，容易看出：

sin（α+β）=CF；sinα=AB；cosα=OB； sinβ=CD；cosβ=OD

则：

 

 

 

 

 

----------------------------------------------------------------------------------------------

平面几何的证明方法：如图所示，过程见下面的【评论】中新浪网友的提示

（非常感谢这位网友的提示，让我们看到了证明一个定理的多种途径，真是妙不可言！）

 

----------------------------------------------------------------------------------

附：如何证明托勒密定理？

见 http://hyz0.blog.sohu.com/69610635.html 

   http://iask.sina.com.cn/b/2459822.html

 

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

　　从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．（具体的推导方法详见数学目录下的博文，来自网友的提供！）

 

 

思路：托勒密定理在平面几何中赫赫有名，其难点在于：把一条对角线分割成两条线段DE和BE。第一步证明一对旋转的三角形相似：△ABE∽△ACD；第二步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB；只有这两对相似的三角形出来了才能得到结论。

 

证明：以AB为边，作一个角等于已知角：即∠BAE=∠DAC；

在ΔABE和ΔACD中，

∵   ∠BAE=∠DAC；

∠ABE=∠ACD；

∴   △ABE∽△ACD；

∴   AB·DC=BE·AC     ①

∵   ∠BAE=∠DAC；

∴   ∠DAE=∠CAB；

在ΔADE和ΔACB中，

∵   ∠ADE=∠ACB；

∠DAE=∠CAB；

∴   △ADE∽△ACB；

∴   AD·BC=DE·AC     ②

∴  ①+②得：

AB·DC+ AD·BC= BE·AC+ DE·AC=（BE+DE）·AC=BD·AC。

 

结论：该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的，叫做托勒密定理。“当你遇到AB·DC+AD·BC=AC·BD这样的等积式时，如果等式左边可以合二为一，则考虑证一对三角形相似，否则，在AC、BD的其中一条线段上找到一个分点，构造两个三角形相似。”