对数公式是数学中的一种常见公式，如果a^x=N(a>0,且a≠1)，则x叫做以a为底N的对数,记做x=log（a）（N），其中a要写于log右下。其中a叫做对数的底，N叫做真数。

中文名对数公式

外文名logarithmic formula

类    别公式

适用领域数学1

性质编辑

①

；

②

；

③负数与零无对数.

2恒等式及证明编辑

a^logaN=N (a>0 ，a≠1）

推导：loga (a^N)=N

恒等式证明

在a>0且a≠1，N>0时

设：LogaN=t，(t∈R)

则有a^t=N;

a^(LogaN)=a^t=N;

证毕

3运算法则编辑

①

②

③

(M,N∈R)

如果

，则m为数a的自然对数，即

，e=2.718281828…为自然对数

的底。定义： 若

则

基本性质：

1、

2、

3、

4、

5、

推导：

1、因为

，代入则

，即

。

2、MN=M×N

由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数，所以

3、与（2）类似处理 M/N=M÷N

由基本性质1(换掉M和N)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数，所以

4、与（2）类似处理

由基本性质1(换掉M)

由指数的性质

又因为指数函数是单调函数，所以

或

由基本性质2（展开

，如图所示）

对数基本性质4推导过程

基本性质4推广

推导如下： 由换底公式（见下面）[

是

，e称作自然对数的底]

换底公式的推导： 设

则

其中

得：

由基本性质4可得

再由换底公式

4换底公式编辑

设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………①

对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..②

对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③

③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a)

注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。

换底公式拓展：

以e为底数和以a为底数的公式代换：

logae=1/（lna）

5推导公式编辑

log(1/a)(1/b)=loga(b)

loga(b)*logb(a)=1

6求导数编辑

(xlogax)'=logax+1/lna

其中，logax中的a为底数，x为真数；

(logax)'=1/xlna

特殊的即a=e时有

(logex)'=(lnx)'=1/x