这个问题属于飞机结构设计范畴，具体为机翼静强度结构设计问题。
较为学术的简单的回答就是：在给定结构重量指标（机翼自身重量）的前提下，要想能够安全地承受使用载荷（设计中会放大为设计载荷），靠的是结构材料的正确选择、结构部件的合理布置以及结构尺寸的精心设计分析与优化。科普一点就是：用了先进的材料，有着能够发挥这些材料的结构。
再形象一点就看图吧。。。
针对现在大型民用客机所采用的机翼结构来回答楼主的问题。
参考资料来自于宋静波，《飞机构造基础》，航空工业出版社。
注意这里的回答仅针对目前主流的梁式机翼。
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1、机翼结构包含的基本构件
机翼的外部载荷是由机翼所包含的许多构件组合成的一定形式的结构来承受的。
机翼的主要构件包含了翼肋、翼梁、桁条和蒙皮。图1给出了这些基本构建在机翼中的位置。
图1 机翼中的基本构件
翼梁是由腹板和缘条铆接而成；翼肋是铆接到翼梁的腹板上；桁条铆接到翼肋上；蒙皮则是通过铆钉铆接到翼肋、翼梁、桁条以及其他的构件上。这些构件的连接方式如图2所示，其中的连线表示铆接。
图2 构件的连接方式示意
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2、机翼受的载荷以及这些载荷引起的力与力矩
楼主所说的机翼如何承受那么大的重量，这里所说的重量就是机翼所要承担的结构载荷，这种结构载荷包括了机翼结构质量力在机翼上的分布载荷，还有就是各连接点传来的集中载荷，例如机翼与发动机短舱连接点，机翼受到发动机短舱给予的集中载荷。
除此以外，机翼还受到气动载荷的影响。
机翼所承受的载荷如图3所示。
图3 机翼受到的载荷(分布结构载荷、连接点的集中载荷、气动载荷)
在这些气动载荷和结构载荷的影响下，机翼受到的力和力矩主要包括：剪力、弯矩和扭矩，主要的示意如图4所示。
图4 机翼结构受到的剪力、弯矩和扭矩示意
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3、机翼各构件如何承受力和力矩
每个部件都有其各自的职责。
剪力Q是要使截面外端沿着垂直方向向上移动。由于机翼的蒙皮、桁条、翼梁的缘条在垂直方向上非常容易变形，而翼梁腹板抵抗垂直方向变形的能力非常强大，可以有效的阻止机翼在剪力作用下的向上移动。所以，机翼承受的剪力是由翼梁腹板所承受的。
弯矩是使机翼产生弯曲变形。当机翼向上弯曲时，机翼上表面的蒙皮、桁条、翼梁缘条产生拉伸的轴向内力；此时机翼下表面的蒙皮、航天和翼梁缘条产生压缩的轴向内力；也就是说，此时上表面拉伸内力和下表面压缩内力，共同抵御机翼向上弯曲时的变形影响。因此，机翼受到的弯矩是由桁条、翼梁缘条和蒙皮共同承受的。
机翼受到扭矩时，由于翼梁缘条和桁条属于纵向承力件，在这种扭矩下很容易变形；而金属蒙皮和翼梁腹板组成的合围框能够很好的承受这种变形。因此，金属蒙皮下的扭矩，是由蒙皮、翼肋和翼梁腹板所组成的几个合围框所承受的。
以空气动力为例，看这些构件如何承受并分解机翼受到的空气动力，具体如图5所示。
图5 气动载荷的传递与分解
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4、以翼肋为例讲解为什么能够安全的承担载荷
在设计过程中，翼肋主要进行了四个部分的校核，分别是刚度校核、气动载荷要求校核、压皱载荷校核、腹板临界失稳力校核。
图6 翼肋的刚度校核
图7 翼肋的气动载荷要求校核
图8 压皱载荷校核
图9 腹板临界失稳力校核
至于为什么经过这四部分校核之后翼肋就是安全的承受机翼重量和气动载荷，如果非得要理论验证的话，得能写半本书。
这里就不赘述了。
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