关于泊松分布的一个问题。

泊松分布的公式如下

想请问下，泊松分布的X代表的意思是什么？以下是我的理解，请看看是否正确

1. 理解1：X代表单位时间或产品中产生事件(缺陷)的数量，这个单位和λ的单位一致，也就是说如果我的λ代表每个产品的缺陷数（比如 λ=0.03缺陷/unit），那么我的X取值（比如 X=3）得到的P值就可以理解成“在总体的缺陷率为0.03缺陷/unit的情况下，我随机取一个产品，有3个缺陷的概率是P”
2. 理解2：那如果λ代表每10个产品的缺陷数（比如λ= 0.05缺陷/10unit），那么我的X取值（比如 X=3）得到的P值就可以理解成“在总体的缺陷率为λ= 0.05缺陷/10unit的情况下，我随机取10个产品，有3个缺陷的概率是P”
3. 我理解3：当 λ=0.03缺陷/unit，我想求“抽取10个unit，有3个缺陷的概率”是无法计算的，因为X=0.3是无法计算0.3！，我只能把 λ换算成0.3，然后带入X=3求出10个unit，有3个缺陷的概率。

我坐着想了半天感觉有点晕，请大神帮忙解释，万分感谢！！！

哈哈，少侠，人生糊涂读书始:-)
 
泊松分布使用的前提是研究“稀有事件”，要得到 λ 是要对一个稳定的离散随机过程经过大量观察的。我试着这样解释上面的三种场景：
 
1. 在总体的缺陷率为0.03缺陷/unit的情况下，我随机取一个产品，这个产品合格的可能性是0.7408，其实此时二项分布才是准确的用法；
 
2. 在总体的缺陷率为λ= 0.03缺陷/10unit的情况下，我随机取10个产品，有0个、1个、2个.... 10个缺陷的概率是P，P（x=0）=0.7408; P(x=1)=0.222245; P(x=2)=0.033337......, P(x=10)=0; 此处使用泊松分布也不妥，二项分布是正解；
 
3. 解释如 2.
 
泊松分布的用法，我上个图供参考。
 

感谢您的回复，有个问题，你说“在总体的缺陷率为λ= 0.03缺陷/10unit的情况下，我随机取10个产品，有0个、1个、2个.... 10个缺陷的概率是P，P（x=0）=0.7408; P(x=1)=0.222245; P(x=2)=0.033337......, P(x=10)=0”。但我在计算P（x=0）(x=1)(x=2)时为何结果跟你不一样呢。。。当x=0时，代入我上面贴出的公式，不就是e^-0.03吗，我算出来P=0.9704，x=1时代入公式等于0.0291，你是怎么算的？？
第二个问题，你说“泊松分布使用的前提是研究“稀有事件””，那我举的例子就是稀有事件呀，历史平均值是0.03缺陷/unit这还不稀有吗- -。
第三个问题，当二项式分布的n较大，p较小时，可以用泊松分布代替。那我本来就是泊松分布，虽然近似于二项分布，但我为什么一定要用二项分布呢？用泊松分布不行吗？
再次感谢回复~

我刚刚仔细看了下你的文档，非常详细，十分感谢！ 但是还是存在一些疑问，以下是我的3个理解，如有不对。请指正！！
1. 比如你举的“一家小杂货店的例子”和“电话总站转接电话错误的例子”，里面的P(x)的计算结果就是根据泊松分布的公式计算的，我算出来和表格里的结果一样，但为什么你在上面回复我的例子：“在总体的缺陷率为λ= 0.03缺陷/10unit的情况下，我随机取10个产品，有0个、1个、2个.... 10个缺陷的概率是P，P（x=0）=0.7408; P(x=1)=0.222245; P(x=2)=0.033337......, P(x=10)=0”。我是真不懂为何结果跟我的不一样=。=，不就是e^-0.03吗，我算出来P=0.9704，x=1时代入公式等于0.0291，你是怎么算的？？
2. 其实我可能比较啰嗦，我帖子一开始想表达的问题就是，“在泊松分布中，使用公式计算，X的单位要和λ的单位一样”，我感觉你的PPT解释了我的问题我。小杂货店平均每周销售2个水果罐头，λ单位是罐头/周，同样你带入的X的单位也应该是罐头/周。 500人团体中有K人生日是元旦的概率如果使用泊松分布计算，λ就需要先换算成（500*1/365），这样我带入的X=1，2, 3 ....才表示500中有K个人过生日的概率，如果λ不换算就直接代入公式（1/365），那么我们带入X=1，2, 3....只能表示1人团体中有K人生日是元旦的概率。
3. 我看PPT中对于二项和泊松的介绍，我理解的是泊松分布其实是二项分布的特殊情况，当n非常大，而p又很小的时候，通过二项分布的公式可以推算到泊松分布的公式，在这种情况下使用二项分布和泊松分布得到的P值几乎一样。而我举得例子其实表述上有点问题，我真正想表达的是:“在总体的缺陷率为0.03缺陷/unit的情况下，每个unit有k个缺陷的概率是P”当然你不能只取一个值，这样n就太小，n越大越好。