当

（2016·江西模拟）当-1≤x≤2时，二次函数y=x²+2kx+1的最小值是-1，则k的值可能是

3

2

或-

2

．

【考点】二次函数的最值．

【分析】先求抛物线的对称轴为：x=-k，分三种情况讨论：①当-k＜-1时，此时-1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，x=-1所对应的y就是其最小值，列式可求得k的值；②当-1≤-k≤2时，x=-k所对应的y就是其最小值，列式可求得k的值；③当-k＞2时，此时-1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以x=2时所对应的y就是其最小值，同时可求得k的值；最后写出结论．

【解答】解：对称轴：x=-

2k

2

=-k，
分三种情况讨论：
①当-k＜-1时，即k＞1时，
此时-1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，y有最小值，y_小=（-1）²+2k×（-1）+1=-1，
k=

3

2

，
②当-1≤-k≤2时，即-2≤k≤1，
对称轴在-1≤x≤2内，此时函数在-1≤x≤-k，y随x的增大而减小，
在-k≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x=-k时，y有最小值，y_小=（-k）²+2k·（-k）+1=-1，
k²-2k²+2=0，
k²-2=0，
k=±

2

，
∵-2≤k≤1，
∴k=-

2

，
③当-k＞2时，即k＜-2，
此时-1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，y有最小值，y_小=2²+2k×2+1=-1，
k=-

3

2

（舍），
综上所述，k的值可能是

3

2

或-

2

，
故答案为：

3

2

或-

2

．

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，是常考题型；但本题比较复杂，运用了分类讨论的思想，做好此类题要掌握以下几点：形如二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）：①当a＞0时，抛物线有最小值，当x=-

b

2a

时，y_小=

4ac?b2

4a

；②当a＞0时，对称轴右侧，y随x的增大而增大，对称轴的左侧，y随x的增大而减小；③如果自变量x在某一范围内求最值，要看对称轴，开口方向及图象．

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