一课研究之“12时是周角吗”

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本期内容有哪些

1.  听一听：什么是角

2.  读一读：12时是周角吗

3.  笑一笑：父子话角

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想知道“角的定义”？我们一起来听一听本期的内容吧

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关于“12时是周角吗？”这个问题，来自作业本上的一道习题。

与北师大版实验教科书配套的《数学作业本（四年级上册）》第9页第2大题“按要求画时间”，学生在完成此题的第（3）小题（如图）时，绝大部分学生认为：“时针和分针组成周角”应画在12时整。粗粗一看，感觉没什么大问题，但仔细琢磨，并没有这样简单。如果答案果真如此，那么12时就应该是周角啦，其实平时我们都认为是这样的。

“12时是周角吗？”这个问题的完整提法应该是“12时整，时针和分针的夹角是360°吗？”或者是“12时整，时针和分针组成周角吗？”

在我们的感觉上，这是一个非常简单的问题。一般人的答案无非三种：①“是周角, 360°”；②“不是，应该是0°角”；③“是0°角或周角”。在网络里搜索类似问题：“12时整，时针和分针的夹角是多少度?”，答案亦是如此。虽然这个问题主要是回答：“0°还是360°、或者两个都是”，关键是“为什么答案不唯一？”百度的答案是：“应该这样说：0时整，0°；12（或24）时整，360°。”

其实不然。我们先从周角的定义开始讨论。

（一）什么是周角

在北师大版各册小学数学教材及教师用书中，并没有直接给出周角的定义，只是在图形中感受周角的形成过程。

在《小学生实用数学辞典》中，“一条射线绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角。”这种定义也是过去老教材普遍采用的。在实验教材中，北师大版与新浙教版都在《数学（七年级上册）》作出了明确的回答，北师大版教材指出，“一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角（straight angle）；终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角（round angle）。”新浙教版教材指出，“终边旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫做平角；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫做周角。”可见，关于“周角”的描述在新教材的北师大版与新浙教版中是一致的。

其实在《数学辞海》（第1卷）中，关于“周角”的描述是这样的：“周角（perigon）：一种特殊的角，指两边重合且角的内部（包括边）是整个平面的角。凡是周角都相等。1周角=360度。周角的外部是空集。除周角外，另有一个两边重合的角，其内部是空集，而外部连同角边是整个平面，这样的角称为零角。因此，周角有内点而无外点，零角有外点而无内点。”“零角（null angle）见‘周角’。” 

实际上，随着“角的定义”的进一步概括，从小学的“从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角”到初中平面几何的“由一条射线绕着它的端点旋转而形成角”，是从静态角到不考虑旋转方向的动态角，是一个认识发展的过程。随着“角的定义”的进一步推广，到了高中，还考虑到角的旋转方向，由于旋转方向不同出现正角、负角与零角，这样以运动的观点代替平面几何中用静止的观点来讨论角，使角的定义得到进一步的拓展。所以，在高中数学中所讨论的角就可以取得任意数值，包括大于360°的角，以及小于或等于0°的角。这样就得到以下几种角：

(1)正角、负角和零角：由旋转射线可以分别形成正角(按逆时针方向旋转形成的角叫做正角)、负角(按顺时针方向旋转形成的角叫负角)、零角(如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角)。

(2)象限角：在研究三角函数时，我们常在直角坐标系内讨论角，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴上，角的终边落在第几象限内，就称这个角是第几象限角。

(3)轴上角：当角的终边与坐标轴重合时，称轴上角，它不属于任何一个象限。

(4)终边相同的角： k·360°+α(k∈Z)它是与α角的终边相同的角(k=0时，就是α本身)，凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍。

由此可见，周角以及周角的整数倍角，实际上都是两条射线的重合，这中间强调的是运动的过程。从静态来看，一条射线是线，而不是角；从动态来看，一条射线显然不是周角，因为一条射线没有作任何旋转时，这时形成一个角，应该是零角。只有当射线旋转一周时，才是周角。但是到了高中，引入正角、负角与零角，由于周角的整数倍（包括负数和0）的角形成的形状是一条射线，我们可以把一条射线看作一条边旋转一周和另一条边重合时的状态，这样自然就可以看作周角了。因此这时一条射线，也可以看作零角或周角，当然也可以看作720°角。

（二）12时是周角吗

结合角和周角的定义，我们就不难回答时钟上的“12时是周角吗？”这个伪命题了，由于时钟在运行中时针和分针又是同时旋转的，所以就显得比较复杂。为了便于分析，在讨论时不考虑秒针的运行情况。

先从静态角（即某一时刻）来考察。

1

0时整，时针和分针的夹角是多少度

对于0时整这一时刻来说，时针和分针没有作任何旋转，这时形成一个角，它的角度毫无疑问就是0°。所以0时整，时针和分针的夹角是0°，即零角。

2

12时整，时针和分针的夹角是多少度

同样在12时整这一时刻的时针和分针没有作任何旋转，此时形成的图形——角也是零角，所以12时整，时针和分针的夹角是0°。

3

24时整，时针和分针的夹角是多少度

由于24时整时针和分针也没有作任何旋转，这时形成一个角，它的角度就是0°。所以24时整，时针和分针的夹角是0°，即零角。

可见无论0时整（或24时整）或12时整，时针和分针的夹角是0°，即零角。当然，就单根时针或分针、秒针而言，无论0时整（或24时整）或12时整，它们只是一条线段（射线），在小学阶段更谈不上角了，只有到了高中阶段才可以说是零角。

再从动态角来考察，可分成以下几个情形进行分析。

4

从0时到12时，时针经过的角是什么角

不考虑分针的运行情况。从动态上看，从0时到12时，时针刚好旋转一周，正好经过一个360°，12时的时针（终边）和12小时前0时的时针（始边）第一次重合，时针此时所成的角就是一个周角。同理，从0时到24时，时针经过的角同样是周角，只不过时针刚好旋转两周，此时是经过两个360°，时针所成的角也就是两个周角。

5

从0时到12时，分针经过的角是什么角

不考虑时针的运行情况，只考虑分针的运行情况。通过问题4的分析，同理可以知道分针从0时起，每过1小时就经过一个360°（也就是一个周角），到12时，就经过12个360°，也就是12个周角。

从0时整到12时整，时针经过的角是周角。显然，同样从1时30分到13时30分，时针经过的角也是周角。也就是说在时钟上，时针走了12小时，旋转一周，经过的角也是周角；分针走了1小时，经过的角也是周角；秒针走了1分钟，经过的角也是周角。在小学阶段，走了2周或更多周，都统说是周角。

6

从0时到12时，时针和分针经过的夹角

是多少度

我们分析时钟上时针和分针的夹角这一问题时，可以把时针和分针看作两条射线，把时针所在的射线看作始边，分针所在的射线就相应看作终边。只是时针所在的射线随着分针所在的射线的变化而变化。通过问题4的分析，可以知道“从0时到12时，时针经过一个360°”。通过问题5的分析，可以知道“从0时到12时，分针经过12个360°”。 那么，从0时到12时，时针和分针经过的夹角就是（12－1）个360°，即3960°，也就是11个周角。我们可以通过操作时钟实物，来佐证从0时到12时，时针和分针重合11次。还可以通过计算得到，从0时开始，时针和分针组成11次周角的时刻。而时针和分针第11次重合成周角，正好在12时整的位置，也说明了从0时到12时，时针和分针经过的夹角是360°×11＝3960°。

因此，在小学阶段，我们也可以认为：从0时到12时，时针和分针组成周角。

综上所述，笔者认为：12时整，时针和分针的夹角是0°，而不是360°。即12时整，时针和分针组成的是零角，而不是周角。但在小学阶段，也可以说：从0时到12时，时针和分针经过的夹角是3960°，也就是11个周角。

由此可见，配套作业本第20页上第2题的第（3）小题，“时针和分针组成周角”画在12时上，是比较勉强的。因为12时整，时针和分针组成的角不是周角，而是零角。

最后，一点建议：在北师大版实验教科书《数学（四年级上册）》第24页的“试一试” （如下图），可以清楚地看到图中的时刻是6时整，只是一个平角。

由于它是一个静态角，学生很难看出周角，为了更好地展现周角的形成过程，可否将时钟图改为老教材一直使用的生活中的团扇图（如下图），这样更妥当。

开开心心笑一笑

爸爸：你知道吗，角有钝角、锐角、直角、平角、周角。

儿子：爸爸，我懂!

爸爸：什么钝角?

儿子：就是你炒菜时候，身体形成的角度。

爸爸：什么是锐角?

儿子：就是蹲着擦地，身体形成的角度。

爸爸：什么是直角？

儿子：就是干不好，妈妈不满意，每天晚上惩罚你跪搓衣板的角度!

爸爸：平角呢?

儿子：妈妈生气时直接用脚踢你的角度!

爸爸：周角呢?

儿子：妈妈觉得不解气，抡脚转圈踢你的角度。

 

你若盛开  蝴蝶自来

审核人：唐志鸿  许学钗